Beweise, dass eine achsensymmetrische ganzrationale Funktion bei x=0 eine horizontale Tangente hat?

Man kann zeigen, dass eine stetig differenzierbare achsensymmetrische Funktion eine horizontale Tangente in der Null hat, und dann benutzen, dass eine ganzrationale Funktion stetig differenzierbar ist.

Dazu berechne die Ableitung in der Null einmal von rechts über

limes h>0 gegen 0 von ( f(h) - f(0) ) / h, und einmal von links über

limes h>0 gegen 0 von ( f(-h) - f(0) ) / -h

Wegen f(h) = f(-h), und da beide limes gleich sein müssen, gilt

limes h>0 gegen 0 von ( f(h) - f(0) ) / h = - limes h>0 gegen 0 von ( f(h) - f(0) ) / h,

der Limes (die Ableitung) ist gleich seinem negativen, muss also gleich Null sein.

Naja, eine achsensymmetrische ganzrationale Funktion erfüllt

 Da eine ganzrationale Funktion im Allgemeinen

 ist, und gelten muss:

 gilt

     Über den Koeffizientenvergleich folgt

a_n=0, n=2k+1, k E N

Also haben wir die Achsensymmetrie nur für Funktionen der Form:

 Deren Ableitungen lassen sich umformen zu

 Wodurch

 folgt, was bedeutet, dass die Tangente der Graphen für x=0 eine Steigung von 0 hat und damit waagerecht ist. :) Fertig