Exponentiellen Wachstumsfaktor anhand eines Graphen bestimmen,
Wie kann ich den Wachstumsfaktor einer Exponentiellen Funktion anhand des Graphen bestimmen?
Mein Beispiel:
f (x) = 3 x 2^x +1
Wobei nach a x b^x ....... a = 3 , b = 2 (Wachstumsfaktor) und c = 1 (Asymptote) ist. (Der Graph hat den y-Schnittpunkt bei 4.)
Die Frage ist (trotz dessen, dass ich hier den Wachstumsfaktor schon kenne) wie ich aus dem Graphen den Wachstumsfaktor ablese, bzw. eventuell mit Steigungsdreieck berechne etc.?
Vielen Dank
Ich freue mich über eure Antworten.
1 Antwort
Hallo,
zur besseren Verständlichkeit habe ich mal ein Bild "gemalt" (dank an GeoGebra) einer Dir noch unbekannten Exponentialfunktion f(x)=a·b^x. Ich betrachte die x-Werte als Zeitpunkte, die y-Werte als irgendwelche Bestände (z.B. Bakterienzahlen...).
Das Charaktistikum eines exponentiellen Wachstumsvorgangs ist es ja, dass der Bestand innerhalb eines festen Zeitraumes immer auf ein ganz bestimmtes Vielfaches anwächst. Dieses Vielfache für den Zeitraum 1 ist Dein b und gibt das relative Wachstum an.
Da sich der Wachstumsfaktor ja nicht ändert, kannst Du Dir einen beliebigen Zeitraum heraussuchen. Ich habe mal den Zeitraum von x=1 bis x=2 genommen.
Die Frage ist, auf das Wievielfache der Bestand zugenommen hat. Also dividierst Du die entsprechenden y-Werte: b = f(2) : f(1) = 10,37 : 4,32 = 2,4 = b.
Derselbe Wert würde sich natürlich für jedes andere Intervall der Länge 1 ergeben.
Du kannst auch ein Intervall der Länge 2 (3) betrachten, erhältst dann eben b² (b³).
Beim Ablesen der y-Werte ergeben sich natürlich Ungenauigkeiten, die sich nicht vermeiden lassen.
Wichtig: Mit einem Steigungsdreieck berechnest Du das durchschnittliche absolute Wachstum in dem entsprechenden Zeitraum. Dieses ändert sich aber bei einer exponentiellen Funktion in Abhängigkeit von der Lage des Zeitraumes und sagt über den Wachstumsfaktor nichts aus.
Wenn Du nun noch den "Startwert" a abliest, hast Du den kompletten Funktionsterm.
Alles klaro?
