Exponentielles Wachstum?9?

Das erkennt man daran, wie der Änderungsvorgang von der Bestandsgröße abhängt.

y'(t) beschreibt zum Beispiel die Änderungsrate einer Größe y(t) pro unendlich kleiner Zeiteinheit. y'(t) nennt man auch die Ableitung einer Funktion y(t)

Wenn diese Abhängigkeit gegeben ist: y'(t)=k*y(t) mit einer Konstanten k, dann spricht man von exponentiellem Wachstum/ exponentieller Abnahme.

Mit y(t)=c*e^(k*t) folgt für die Ableitung: y'(t)=c*k*e^(k*t)

Eingesetzt in die Gleichung: y'(t)=k*y(t) => c*k*e^(k*t)=k*c*e^(k*t) (w.A.)

Also erfüllt jede Funktion y(t)=c*e^(k*t) mit den Konstanten c,k die Gleichung.

Ist k>0 spricht man von exponentiellem Wachstum (Bakterienkulturen), ist k<0 von exp. Abnahme (radioaktiver Zerfall).

siehe "Exponentialfunktion" f(x)=a^x im Mathe-Formelbuch,was man privat in jeden Buchladen bekommt.Da brauchst du nur abschreiben.

Durchläuft das Argument x eine arithmitische Folge,so durchläuft der Funktionswert f(x) eine "geometrische Folge"

allgemeine Form ist N(x)=No*a^x hier ist No der Anfangswert zum Zeitpunkt t=0 a^0=1

a>1 "exponentielles Wachstum"

0<a<1 "exponentielle Abnahme"

oder mit a=e=2,7... ergibt N(x)=No*e^(-b*x) mit c=-b*x

c>0 "exponentielles Wachstum"

c<0 "exponetielle Abnahme"

Beispiel : Zinsrechnung Anfangskapital K0=100 Euro Zinssatz o=3%

K1=Ko+Ko/100%*3%=Ko*(1+0,03)=Ko*1,03

K1 =kapital nach 1 Jahr

dies ist eine Exponetialfunktion K(x)=Ko*a^x=100 *1,03^x

a=1,03>0 also Wachstum

Das Kapital verliert an Wert pro Jahr um 3%

K1=Ko-Ko/100%*3%=Ko*(1-0,03)=Ko*0,97

also ergibt dies K(x)=Ko*a^x=100*0,97^x

nach 1 Jahr K1=100*0,97^1=97 Euro "exponetielle Abnahme"

HINWEIS : Radioaktiver Zerfall N(t)=No*e^(-b*t)

No Anzahl der zerfallsfähigen Kerne zum Zeitpunkt t=0

b ist die Zerfallskonstante ,abhängig vom Material

t ist die Zeit ,Einheit kann sein Jahre,Monate ,Tage oder auch Sekunde, je nach Material

TIPP: Zeichne die Funktion f(x)= 2* e^(-1*x) (exponetielle Abnahme) mit x>0 Die Zeit ist beim radioaktiven Zerfall immer positive

Wenn du drei hintereinanderstehende Werte hast für z.B. x = 1, x = 2 und x = 3   und du dividierst das 2. Glied durch das erste, sodann das dritte durch das zweite, kommt bei Exponentialfunktionen derselbe Quotient heraus;
und dieser ist wunderbarerweise auch gleich der Wachstumsfaktor.

y = c aⁿ            c = 100     a = 3

y₁ = 100 * 3     = 300
y₂ = 100 * 3²    = 900
y₃ = 100 * 3³    = 2700

900 / 300   = 3
2700 / 900 = 3

Daher Exponentialfunktion mit Wachstumsfaktor 3.

q.e.d.

(Das ist natürlich kein Wunder, sondern liegt an der Bauart der Funktion. Man sieht es nur nicht sofort.)

wenn sich etwas vervielfacht oder um einen %-Satz vermehrt bzw vermindert.

Exponentiell bedeutet, dass die Veränderung pro Zeiteinheit nicht konstant ist, sonder bezogen zum vorherigem Wert des Bestandes.

Ein Huhn legt jeden Tag ein Ei (dummes Beispiel) - das ist nicht exponentiell sondern konstant.

Wenn Bakterien sich teilen wird aus einer Bakterie 2, 4, 8, 16, 32, 64 ...