Kann mir jemand ber der Aufgabe helfen?
Matrizen sind ja ähnlich wenn sie die selben Jordannormalform haben. Für n=4 gibt es ja 5, verstehe aber nicht wie ich genau bei jedem fall meine p wählen muss
1 Antwort
verstehe aber nicht wie ich genau bei jedem fall meine p wählen muss
Gar nicht. Du sollst kein p wählen. Du musst eine Formel finden, die dir für jede Primzahl p die Anzahl m liefert.
verstehe aber nicht wie ich genau bei jedem fall meine p wählen muss
Gar nicht. Du sollst kein p wählen. Du musst eine Formel finden, die dir für jede Primzahl p die Anzahl m liefert.
============ Ergänzung ============
Du hast bereits herausgefunden, dass es 5 verschiedene Typen von Jordan-Normalformen bei n = 4 gibt, nämlich...
Typ A:
Typ B:
Typ C:
Typ D:
Typ E:
Bei jedem dieser Typen sind jetzt aber noch unterschiedliche Zahlen (λ, λ₁, λ₂, λ₃, λ₄) möglich. Die Frage ist nun...
- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es bei Typ A, wenn man λ₁, λ₂, λ₃, λ₄ wählt, dass man da verschiedene Jordan-Normalformen erhält?
- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es bei Typ B, wenn man λ₁, λ₂, λ₃ wählt, dass man da verschiedene Jordan-Normalformen erhält?
- [...]
Wie viele Möglichkeiten sind das dann insgesamt?
Beispielsweise hat man bei Typ A ja die Möglichkeiten (0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 0, 2), ..., (0, 0, 0, p - 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 1, 2), ..., (0, 0, 1, p - 1), ... für (λ₁, λ₂, λ₃, λ₄). Welche entsprechend unterschiedliche Jordan-Normalformen des Typs A liefern.
------ Weitere Ergänzung ------
Bei Typ A gibt es
verschiedene Möglichkeiten für entsprechende Kombinationen (λ₁, λ₂, λ₃, λ₄).
https://de.wikipedia.org/wiki/Kombination_(Kombinatorik)#Kombination_mit_Wiederholung
Bedenke dabei nämlich insbesondere auch... Jordan-Normalformen sind nur bis auf Vertauschung eindeutig. Dementsprechend liefern beispielsweise (λ₁, λ₂, λ₃, λ₄) = (0, 0, 0, 1) und (λ₁, λ₂, λ₃, λ₄) = (0, 0, 1, 0) die entsprechenden Jordan-Normalformen vom Typ A die gleiche Ähnlichkeitsklasse.
Zum Beispiel habe ich bei der Jordan-Normalform für 4 nur eine Möglichkeit, 𝑝 zu wählen
Nein. Du hast keine Möglichkeit p zu wählen, da p von vornherein festgelegt ist. Du hast ein p > 0 vorgegeben und musst dazu nun die Anzahl m angeben.
Ich habe mal meine Antwort etwas ergänzt, in der Hoffnung, dass du damit erkennst, in welche Richtung die Aufgabe geht.
warum nimmt man bei A
(P+3)(P+2)(P+1)P und nicht (P-3)(P-2)(P-1)P
weil die auswahl an primzahlen wird ja weniger?
Nochmal: Du hast keine Auswahl an Primzahlen.
Du hast eine Auwahl bezüglich des Typs (hier von mir „Typ A“ bis „Typ E“ genannt) der Jordan-Normalform und eine Auswahl bezüglich der Eigenwerte (von mir je nach Typ mit λ, λ₁, λ₂, λ₃, λ₄ bezeichnet).
============
Dass man bei Typ A (p + 3) ⋅ (p + 2) ⋅ (p + 1) ⋅ p/24 ergibt sich aus der Kombinatorik...
Im Zahlenkörper 𝔽ₚ gibt es p verschiedene Zahlen. Dementsprechend sind für die Eigenwerte λ₁, λ₂, λ₃, λ₄ dann jeweils p verschiedene Zahlen möglich.
Nun hat man aber nicht einfach p⁴ verschiedene Möglichkeiten für (λ₁, λ₂, λ₃, λ₄), da beispielsweise (0, 0, 0, 1) und (0, 0, 1, 0) quasi als gleiche Möglichkeit zählen. Denn die Jordan-Normalform ist nur bis auf Vertauschung der Jordan-Blöcke eindeutig.
Andererseits ist auch p ⋅ (p - 1) ⋅ (p - 2) ⋅ (p - 3) falsch, da man nicht einfach immer eine Möglichkeit weniger für die nächste Stelle hat. (Bzw. denkst du vielleicht an unterschiedliche Eigenwerte? Die müssen hier aber gar nicht paarweise verschieden sein.) Außerdem würde p ⋅ (p - 1) ⋅ (p - 2) ⋅ (p - 3) beispielsweise im Fall p = 2 eine negative Zahl liefern. (Und dass eine negative Anzahl hier keinen Sinn ergibt, merkst du selbst, oder?)
Eine mögliche Denkweise (neben dem stupiden Verwenden der passenden Formel aus dem von mir verlinkten Wikipedia-Artikel) wäre es für die Eigenwerte beim Typ A so zu denken...
Es werden 4-mal das Symbol „|“ und (p-1)-mal das Symbol „*“ hintereinander auf 4 + (p - 1) möglichen Positionen angeordnet. Im Fall p = 7 habe ich hier mal beispielhaft drei entsprechende Anordnungsmöglichkeiten aufgezeichnet...
Position: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
M1: | | | | * * * * * *
M2: | | | * * * | * * *
M3: * * | * | | * * * |
Die 4 „|“-Symbole stehen nun für die 4 Eigenwerte λ₁, λ₂, λ₃, λ₄. Die Anzahl der „*“-Symbole links vom „|“-Symbol steht für die Größe des jeweiligen Eigenwerts.
Bei Beispiel-Möglichkeit M1 haben alle vier Eigenwerte den Wert 0. Bei Beispiel-Möglichkeit M1 hat man drei Eigenwerte mit Wert 0 und einen Eigenwert mit Wert 3. Bei Beispiel-Möglichkeit M3 hat man einen Eigenwert mit Wert 2, zwei Eigenwerte mit Wert 3, einen Eigenwert mit Wert 6. [Beachte: Bei dieser Veranschaulichung ist die Reihenfolge der Eigenwerte (wie auch bei der Jordan-Normalform die Reihenfolge der Jordan-Blöcke) egal.]
Wie viele Möglichkeiten gibt es nun aus den 4 + (p - 1) Positionen 4 Positionen für das „|“-Symbol auszuwählen? Das sind die...
binomial(4 + p - 1, 4) = binomial(p + 3, 4) = (p + 3) ⋅ (p + 2) ⋅ (p + 1) ⋅ p/24
... Möglichkeiten, die ich in meiner Antwort erwähnt habe.
Ich weiß, ich habe es nur falsch formuliert. Zum Beispiel habe ich bei der Jordan-Normalform für 4 nur eine Möglichkeit, 𝑝 zu wählen. Diese addiere ich zu den anderen Möglichkeiten. Aber wie wähle ich die anderen? Ist es dann bei 3+1 𝑝(𝑝−1)?