Relationen,Mengen bitte um Erklärung?

Also bei mir steht: eine partielle Ordnung ist eine reflexive, antisymmetrische und transitive Relation ist.. Eine totale Ordnung ist eine partielle Ordnung, in der je zwei Elemente vergleichbar sind.

Ja, ziemlich genau sowas hab ich geschrieben ;)

Das verstehe ich leider trotzdem nicht. Also wie gucke ich, ob je zwei Elemente verlgeichbar sind? Ich habe in der Menge A={1, 2} zwei elemente, als 1 und 2. Wie soll ich die den vergleichen? Ich meine, bezüglich auf was soll ich dir vergleichen?

a und b heißen vergleichbar bezüglich R, wenn (a,b) ∈ R oder (b,a) ∈ R gilt.

Aber bevor ich mir die Mühe mache, zu gucken, ob je zwei Elemente vergleichbar sind, würde ich erstmal gucken, ob das überhaupt ne partielle Ordnung ist.

Ich bleibe Leider bei dieser Aufgabe stecken:

B = {1, 2, 3}, Rb = {(1, 1),(1, 2),(2, 1),(2, 2),(3, 3)}

Könntest du mir hier weiterhelfen?

Also R ist reflexiv. Bei der Symmetrie habe ich Schwierigkeiten, aber wenn (1,2) drinnen ist, dann ist auch (2,1) auch drinnen. Also ist es symmetrisch. Es ist aber nicht transitiv, weil (1,3) nicht in der Menge enthalten ist. Also ist es weder eine Äquivalenzrelation noch eine partielle Ordnung. Was mache ich nun?:(

Warum glaubst du, dass (1,3) in der Relation sein muss, damit sie transitiv ist? Was genau bedeutet "Transitivität" nochmal?

Also die Definition von Transitivität lautet: wenn für alle x, y, z ∈ X aus x R y und y R z stets x R z folgt.

Also meine x,y,z aus B sind eben 1,2,3. Also müsste ich laut der Definition (1,2) und (2,3) haben, damit die Verkettung (1,3) funktioniert. Hmm, also ich merke gerade, dass (2,3) gar nicht in der Menge enthalten ist. Also kann doch (1,3) recht nicht verkettet werden?

Du musst die Definition halt genau so betrachten, wie sie da steht:

Wenn (1,2) und (2,3) in R liegen, dann liegt auch (1,3) in R.

Aber da (2,3) nicht in R liegt, ist es in diesem Fall für die Transitivität egal, ob (1,3) in R liegt oder nicht.

Ok, aber wie soll ich dann sonst die Transitivität untersuchen? Denn ich brauche doch 3 Elemente dafür. Soll ich damit versuchen: Wenn (1,1) und (1,2) dann auch (1,2). Aber das sieht iwie blöd aus

Es stimmt schon: Für Transitivität musst du streng genommen alle Kombinationen von Paaren (x,y) und (y, z) in R prüfen. Das heißt:

• (1,1) und (1,1) liegen in R => (1,1) liegt in R [true]
• (1,1) und (1,2) liegen in R => (1,2) liegt in R [true]
• (1,2) und (2,1) liegen in R => (1,1) liegt in R [true]
• (1,2) und (2,2) liegen in R => (1,2) liegt in R [true]
• usw...

Das sieht zwar blöd aus, aber daran lässt sich nicht viel ändern ;) Ich persönlich würde vermutlich inzwischen schreiben "Transitivität lässt sich leicht nachprüfen", aber an deiner Stelle würde ich diese blöden Folgerungen lieber alle aufschreiben ;)

Hey ich habe alle Kombiniert und es kommen 8 Kombinationen raus die wahr sind, also ist R eine Äquivalenzrelation, weil reflexiv, symmetrisch und transitiv.

Kann es auch passieren, dass eine Relation gleichzeitig eine Äquivalenzrelation ist und eine Partielle Ordnung?

Z.B diese Relation C = {1}, R = {(1, 1)} ist:

Reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch und transitiv.

Bei Totalordnung gilt x≤y oder x≥y. Und 1≤1 ist war. Also müsste es eine Äquivalenzrelation und eine totale Ordnung gleichzeitig sein, ist es überhaupt möglich?

Ja, eine Relation kann sowohl eine Äquivalenzrelation als auch eine partielle Ordnung sein. Das ist allerdings ein Spezialfall: Das passiert nur, wenn die Relation genau aus allen Paaren der Form (x,x) besteht.

Dass es auch noch eine Totalordnung ist, passiert nur, wenn zusätzlich in der Grundmenge höchstens ein Element liegt, was bei dir der Fall ist ;)

Danke sehr für die Antwort. Dürfte ich dich vielleicht noch zu der Definition von Antisymmetrische Relation fragen: Also die Definition (wikipedia) dazu lautet ja:

Heißt es, dass wenn xRy in der Menge existiert, aber yRx in der Menge nicht existiert, dann kann die Folgerung x=y nicht impliziert werden? ODER bedeutet das lediglich, dass die Untersuchung auf Antisymmetrie gar nicht erst gemacht werden kann, weil eben yRx in der Gruppe fehlt?

Z.B Diese Relation

D = {1, 2, 3}, R = {(1, 1),(1, 2),(2, 2),(2, 3),(3, 3)}

ist Reflexiv, nicht symmetrisch. Aber wie sieht es mit Antisymmetrie aus? Denn

(1, 2) kann ich nicht untersuchen, weil (2,1) nicht existiert. Und der Operator und in der Definition verlangt unbedingt dieses (2,1) zu haben. Also bedeutet es, dass die Untersuchung nicht gemacht werden kann und deshalb kann die Antisymmetrie nicht verneint werden? Oder bedeutet es, dass die Implikation x=y nicht wahr ist, weil die Bedingung nicht erfüllt sind? Irgendwie weiß ich nicht wie ich das hier genau interpretiere.

Tut mir Leid für so viele Fragen, anch jeder Aufgabe denke ich, dass ich es verstanden habe, aber dann kommt wieder eine Aufgabe wo ich nachdenken muss

Definition: Wenn für alle x,y∈ X aus xRy UND yRx stets y=x folgt

Also wenn xRy, aber nicht yRx ist, dann kann ja eh nicht x = y gelten, denn sonst wären die Aussagen xRy und yRx ja beide einfach nur xRx.

Du brauchst nur die Fälle untersuchen, bei denen tatsächlich xRy und yRx gilt.

Die Transitivität wird eigentlich nicht positiv bewiesen, sondern angenommen, weil sie nicht verneint werden kann - oder eben mit einem widerlegenden Beispiel verneint.

Nimm z.B. die RA = {(1,2)} - diese ist transitiv, weil man kein (a,b), (b,c) bilden kann, für welches (a,c) nicht gilt.

Im Prinzip hast Du recht, nur wenn es drei Elemente gibt, kann es zu Fällen kommen, dass die Transitivität nicht vorliegt. Und solange sie nicht "nicht vorliegt" (also keine drei Elemente gefunden wurden, für welche keine Transition möglich ist), liegt sie vor.

Ich gebe Dir ein Beispiel: RA={(1,2),(2,3),(1,1),(2,2),(3,3)}

Nach diesen Relationen kommt man über zwei Relationen von 1 zu 3, obwohl die Menge der Relationen diese Relation (1,3) gerade nicht vorsieht! Man kommt also mit Kombinationen weiter als die ursprüngliche Menge.

sie ist mit einer transitiven Hülle erweiterbar (auf eine Äquivalenzrelation) - dann gibt es noch Äquivalenzhüllen etc. - so genau kenne ich mich leider auch nicht aus.