Vektorielle Parametergleichung?

4a) Von dir wird verlangt, dass du es eine Ebenengleichung erstellst, bei der die Ebene sich exakt mit der x-y-, y-z- und x-z-Ebene decken. Wenn du beispielsweise über die x-y-Ebene nachdenkst, stellst du fest, dass sich diese nur entlang der x und y-Achsen strecken; nie entlang der z; Das bedeutet du kannst nach der Standardgleichung:

Die Werte für die Ebene einsetzen. Der Startpunkt (Stützvektor) kannst du dir aussuchen, insofern er auf der Ebene liegt (also z muss 0 sein). Bei dem ersten Richtungsvektor (x2, y2, z2) geht man jetzt in die Richtung, in die eine der beiden Achsen zeigen, also setzt du y auf einen Wert deiner Wahl oder x. Bei dem anderen Richtungsvektor (x3, y3, z3) machst du genau das selbe nur mit der anderen Achse.

Beispiellösung:

Das wäre die x-y-Ebene. Du kannst dir das eventuell so vorstellen, dass der Stützvektor anzeigt, wo der Startpunkt ist; der 1. Richtungsvektor eine Richtung angibt, wobei r ja jeden Wert annehmen kann und somit unendlich in diese Richtung geht. Für jeden r-Wert, wird dann dort noch der 2. Richtungsvektor mit auch unendlicher Länge drauf addiert. Quasi hast du dann eine unendliche Linie, an welcher unendlich unendlich lange Linien drangehangen werden. (Es ist schwierig zu erklären)

Bei b) kannst du dir ja denken, dass, wenn die Ebene parallel zur x-z-Achse liegt, die Richtungsvektoren von E4 exakt gleich sind wie die x-z-Ebene; Du musst also nur im Stützvektor den y-Wert addieren (du kannst auch noch zusätzlich den x-Wert addieren, aber der ist ja sowieso schon eingeschlossen, da die Ebene ja diesen Punkt mit einschließt).

Bei c) lass ich dich mal selbst überlegen. (Es ist genau so wie bei b)

Bei d) ist es etwas komplizierter und es ist am sinnvollsten, wenn man dich das bildlich vorstellt (aber versuche es nicht zu zeichnen, dann wirst du nur noch verwirrter glaube ich). Du weißt, dass die Ursprungsgerade, welche durch (3|1|0) verläuft geht, in der Ebene enthalten ist, wodurch du schon 2 Punkte weißt; einmal (0|0|0) und (3|1|0). Dann weißt du noch, dass die Ebene senkrecht auf der x-y-Achse steht, was bedeutet, dass sie sich nur noch nach oben (also z) bewegen kann, weil sonst ja kein rechter Winkel entstehen würde.

Beispiellösung wäre:

e) Da sie senkrecht zur y-z-Ebene steht, ist einer der Richtungsvektoren bei y und z gleich 0 und bei x kannst du dir einen Wert ausdenken. Eine Winkelhalbierende des y-z-Ebenen-Quadrantens bedeutet nur, dass dort eine 45° Linie ist und, wenn man sich die Ebene (y-z) als Funktion vorstellt, bedeutet das ja nichts anderes als z = y. Somit kannst du dir jetzt also irgendeinen Punkt, der auf der Geraden liegt nehmen. Der Stützvektor darf nur in der z-Koordinate verändert werden, da die Ebene sonst nicht senkrecht auf der y-z-Ebene stehen würde. Ich empfehle aber, den Stützvektor auf (0|0|0) zu lassen.

Beispiellösung:

Wenn der Richtungsvektor (0|0|0) ist brauchst du den natürlich nicht mitschreiben, aber ich mache das hier aus Anschaulichkeitsgründen.

f) Damit das überhaupt möglich ist, müssen die Geraden sich entweder schneiden oder parallel verlaufen. Das kannst du ja selbst überprüfen. Wenn die parallel verlaufen, kannst du einfach irgendeinen der beiden Punkte nehmen, mit dem Stützvektor addieren und als Richtungsvektor hinten dranhängen. Wenn die sich schneiden, dann kannst du auch einfach dasselbe machen, muss aber aufpassen, dass der Punkt, den du gewählt hast, zufälligerweise nicht der Schnittpunkt ist.

Nach dem Ausrechnen des Schnittpunktes, weißt du, dass dieser (4|1|2) ist; welch Zufall (gemeines Buch); jetzt kannst du also einfach hinten an die gegebene Gerade noch einen Parameter (zum Beispiel s) und den Punkt subtrahiert mit dem Stützvektor dran addieren:

Wenn ich mich verrechnet haben sollte, bitte mitteilen. Bei Fragen kannst du gerne fragen.

Aufstellen einer Ebenegleichung, wobei aus den Bedingungen sich der Stützvektor und die beiden Richtungsvektoren ergeben.