Wann hat eine funktion keine wendepunkt?

Genauso, wie an einer Extremstelle eine waagerechte Tangente vorliegen muss (also f´(xe) = 0), gibt es für Wendepunkte die notwendige Bedingung f´´(xw) = 0.

Mit der zweiten Ableitunge berechnest Du die Krümmung einer Funktion. Anhand des Vorzeichens kannst Du erkennen, um welche Art von Krümmung (rechts, links) es sich handelt.
Im Wendepunkt findet ein Krümmungswechsel statt. Somit darf dort die zweite Ableitung weder positiv noch negativ sein, also muss sie null sein.

In Deinem ersten Beispiel ist aber festgestellt worden, dass die zweite Ableitung für alle x-Werte positiv sein muss. Ohne Nullstellen von f´´ gibt es aber auch keine Wendestellen.

Genau das ist im zweiten Beispiel anders.

Wenn du es nur wissen willst:
erst bei Existenz einer zweiten Ableitung, die an einer oder mehreren Stellen gleich Null ist, kann es Wendepunkt(e) geben, im normalen Betrachtungsverlauf also erst ab 3. Grad (x³).

Für normale Kurvendiskussionen reicht das schon. Ansonsten betrachtet man sich das Krümmungsverhalten, dargestellt durch f''' (3. Ableitung). Ist f '''(x) ≠ 0 , habe ich es auf jeden Fall mit einem Wendepunkt zu tun.

Wenn du wissen willst, warum das so ist, bedarf es einer längeren Erklärung, die hier nicht möglich ist. Die Plausibilität muss da erst einmal reichen. Die Darstellung der 2. Ableitung ist eine Gerade, die an der besagten Stelle durch die x-Achse geht.

Das kann man aber nicht ahnen; das muss man rechnen.
Also die 2. Ableitung bilden und prüfen, ob sie Null werden kann.

Lineare Funktionen haben erst mal keinen. Entweder y=xm+n ist monoton steigend oder fallend. Oder bei dem Sonderfällen ohne Steigung , etc.

Bei der Quardratischen Funktion Wurzel von x  hast du nur einen Parabelast, auch ohne Veränderung im Sinne vonWendepunkten.

Beim ersten Bild hast du erstmal nur die Wurzel aus x hoch 3, umgestellt auch x hoch 3/2
Der Bruch dadrüber soll heißen das du den Kehrwert bilden sollst. Also x hoch -2/3

Um den Wendepunkt zu finden kann man ne Wertetabelle aufstellen (und den Graphen zeichnen)

Bzw. du weißt welche einen Wendepunkt haben und kannst es gleich über die Formel schließen.

So hoffe du verstehst davon etwas, ist bei mir etwas länger her das Thema.