Wenn Du einen ALG - 1 Antrag gestellt hast und dieser in Bearbeitung ist, dann geht dir von deinem erworbenen Anspruch nichts verloren.
Dann beginnt der Anspruch eben erst später und zwar ab dem Tag der Antragstellung.
Was passieren könnte wäre, wenn Du dich nicht rechtzeitig arbeitssuchend gemeldet hast, was nach deinen Angaben ja aber nicht zutreffend würde, käme eine Sperrzeit nach Paragraf 159 SGB - lll von 1 Woche wegen verspäteter Arbeitssuchendmeldung in Betracht.
Die würde dann vom Leistungsanspruch abgezogen und würde den Anspruch um 1 Woche verringern.
Wenn der Antrag vollständig ist und Du die Anwartschaftszeit und sonstigen Voraussetzungen erfüllst, dauert die Bearbeitung im Regelfall nicht länger als 2 - 3 Wochen.
Leistungen von der Agentur für Arbeit werden rückwirkend für den Monat am Ende des Monats gezahlt.
Hättest Du also ab dem 1. Juni Anspruch, dann würdest Du die erste Leistung Ende Juni rückwirkend für Juni bekommen.
Könntest zwar auch einen Antrag auf Bürgergeld beim Jobcenter stellen, die dann bei erfüllen der Voraussetzungen erst einmal in Vorleistung gehen würden und dann bei der Agentur für Arbeit einen Erstattungsantrag stellen würden und das dann unter sich verrechnen würden, aber auch da kannst Du bei Vollständigkeit des Antrags inkl. Kontoauszüge in Kopie der letzten 3 Monate mit einer Bearbeitungszeit von 4 - 6 Wochen rechnen.
Kann schneller gehen aber auch länger dauern.