Ist die Funktion f(x)=2x^3-x-1 Punktsymmetrisch?
Ich weiss, wie man das ausrechen kann & ich weiss auch wie das mit den ungeraden&geraden exponenten funktioniert, mein einziged Problem ist die -1. Über der -1 steht doch ein ^0 oder? Ist das ausschlaggebend für die Punktsymmetrie oder ist due Fkt. trotzdem Punktsymmetrisch?
5 Antworten
Was in Deinem Falle gefragt ist und wo Du auch hinaus willst:
Die Funktion ist nicht punktsymmetrisch (denn was hier gefragt ist, ist immer Symmetrie zum Ursprung).
Punktsymmetrie tritt bei ganz-rationalen Funktion dann auf, wenn nur ungerade Exponenten vorkommen.
Hier haben wir den absoluten Term, -1. Dieser ist (wie Du bereits bemerkt hast), x^0 also gerade Potenz.
Laut Definition:
Der Graph einer Funktion ist genau dann punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs, wenn für beliebige x-Werte des Definitionsbereiches gilt:
f(-x) = - f(-x)
Zum Beispiel für x = 1
=> f(-1) = 2 * (-1)³ - (-1) -1 = -2 +1 -1 = -2
und -f(-1) = -[ 2 * (-1)³ - (-1) -1] = - (-2)
also
f(-x) ≠ - f(-x), demnach keine Punkt-Symmetrie zum Ursprung.
Symmetrie gegenüber einem gewissen Punkt ist immer gegeben bei einer ganzrationalen Funktion, dritten Grades, siehe Antworten von Willi 1729 und Comment 0815. Aber die Antwort auf die Frage in dieser Aufgabe ist: Es liegt keine Punktsymmetrie vor, denn hier wird eben Punktsymmetrie gegenüber dem Ursprung verlangt.
LG,
Heni
Danke für den Kommentar. Damit bin ich völlig einverstanden, aber ich bleibe dabei, daß hier die Punktsymmetrie gegenüber des Ursprungs gefragt ist.
LG,
Heni
0 ist weder gerade noch ungerade. Deshalb kannst du damit nichts anfangen.
Aber -1 gibt bedeutet, dass der Graph um 1 nach unten verschoben ist. Das bedeutet, dass sich die Symmetrie an sich nicht ändert. Wenn f(x)=2x³-x punktsymmetrisch ist (was zutrifft), ist auch f(x)=2x³-x-1 punktsymmetrisch. Allerdings ist 2x³-x-1 nicht punktsymmetrisch zum Ursprung, sondern zum Punkt (0|-1).
Weil die Funktion um 1 nach unten verschoben ist, verschiebt sich auch der Symmetriepunkt um 1 nach unten. Deshalb (0|-1) statt (0|0).
Ein Polynom hat generell den Aufbau:
f(x) = an * x^n + ... + a0 * x^0
Dieser letzte Term (a0 * x^0) ist in Deinem Fall -1 * x^0. Da x^0 = 1 ist, muss man das nicht explizit hinschreiben.
Der letzte Term gibt bezüglich des Symmetrieverhaltens keinen Ausschlag, da er konstant ist. Im Wesentlichen ist das nur eine "vertikale Verschiebung des Graphen".
Hallo,
wie jede Polynomfunktion dritten Grades ist auch diese punktsymmetrisch.
Allerdings liegt - wegen der -1 - das Symmetriezentrum nicht im Ursprung.
Ist eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung, nennt man sie ungerade. Das sind Funktionen der Form a1x^(2n-1)*a2x^(2n-3)*...*anx, also solche, die nur ungerade Potenzen und kein absolutes Glied aufweisen.
Allgemein berechnest Du den Symmetriepunkt einer punktsymmetrischen Funktion, indem Du in die Gleichung f(2a-x)-2b=-f(x) zwei beliebige Punkte, die auf dem Funktionsgraphen liegen, einsetzt und über das so entstehende Gleichungssystem a und b berechnest. Der Symmetriepunkt hat dann die Koordinaten (a|b).
Herzliche Grüße,
Willy
Bei einer Funktion der Form f(x)=ax³+bx²+cx+d ist das Symmetriezentrum der Wende- bzw. Sattelpunkt.
Hier reicht es also, die zweite Ableitung f''(x)=6ax+2b auf Null zu setzen. Die Nullstelle dann in die Funktion einsetzen, um die y-Koordinate zu ermitteln.
In Deinem Fall: a=2, b=0:
12x=0
x=0
f(0)=-1
Symmetriepunkt also (0|-1)
Willy
Sämtliche Antworten sind irre führend. Diktat für Formelsammlung, Regelheft & Spickzettel ( FRS )
" Alle Polynome 3. Grades singen immer wieder die selbe Melodie. "
" Sie verlaufen Punkt symmetrisch gegen ihren WP. "
Üben wir das mal. Für den WP braucht's auch keine 2. Ableitung; du gehst immer aus von der Normalform Wieder Diktat für FRS
F ( x ) := x ³ + a2 x ² + a1 x + a0 ( 1a )
a2 = 0 ; a1 = a0 = ( - 1/2 ) ( 1b )
x ( w ) = - 1/3 a2 = 0 ( 2 )
Dann folgt aber
( x | y ) ( w ) = ( 0 | - 1 ) ( 3a )
Also
1/2 [ f ( x ) + f ( - x ) ] = ( - 1 ) ( 3b )
Symmetrie einer Funktion kann auch allgemeiner aufgefaßt werden:
Ich zitiere aus Kusch Mathematik, Bd. 3, S. 42:
"Bei einer 'achsensymmetrischen Funktion' kann die Symmetrieachse des Graphen auch eine Parallele x=a zur y-Achse sein. Im rechtwinkligen Koordinatensystem gelten dann die Gleichungen f (a-x)=f (a+x) bzw. f (2a-x)=f (x) für alle x ϵ D (f)"
"Bei einer 'punktsymmetrischen Funktion' kann ein beliebiger Punkt Ps (a|b) des Koordinatensystems Symmetriepunkt des Graphen sein. Für ein rechtwinkliges Koordinatensystem gelten dann die Gleichungen f (a-x)-b=-f (a+x)+b bzw. f (2a-x)-2b=-f (x)
für alle x ϵ D(f)." (Ende Zitat)
Eine Funktion, die achsensymmetrisch zur y-Achse ist, wird 'gerade' genannt, während eine Funktion, die punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist, 'ungerade' genannt wird.
Herzliche Grüße,
Willy