Ist die Transitivität verletzt? Wann ist es eine Ordnungs Relation?
Relation = {(c,c),(a,a);(b,b);(d,d);(e,e);(a,c);(c,a)(c,e);(e,c);;(e,a);(a,e),(b,d);(d,b)}
Handelz es sich hierbei um eine Äquivalenzrealtion oder wird hier die Transitivität verletzt ?
3 Antworten
Bedingungen für eine Äquivalenzrelation:
- Transitivität
- Symmetrie
- Reflexivität
Sind diese erfüllt?
x~y meint, dass x in Relation zu y steht.
Transitivität:
Wenn a~b und b~c, dann a~c
Ist erfüllt, da es keine "Tupel-Kombination" gibt, die dies nicht erfüllt.
- (a,c) und (a,e) => (c,e)
- (c,a) und (c,e) => (a,e)
- usw.
Symmetrie
Wenn a~b, dann b~a
Ist auch erfüllt, gilt schließlich auch für alle Tupel der Relation.
- (a,c) => (c,a)
- (b,d) => (d,b)
- usw.
Reflexivität (auf {a,b,c,d,e})
Für alle a gilt, dass a~a
Ist ebenfalls erfüllt, schließlich steht jedes Element aus den Tupeln auch zu sich selbst in Relation.
- (a,a)
- (b,b)
- usw.
Da alle drei Bedingungen erfüllt sind, ist es eine Äquivalenzrelation!
Ich hoffe, ich konnte helfen :)
Ja.
Es wäre nur falsch, wenn es (b,c) und (b,e) gäbe, aber nicht (c,e).
(c,e) gibt es zwar, aber das heißt nicht, dass es auch (b,c) und (b,e) geben muss. Es ist eine Implikation.
(x,y) und (y,z) => (x,z)
Wenn also Voraussetzung schon nicht gegeben ist, kann diese Aussage nicht falsch sein (man siehe Wahrheitstafel der Implikation).
Es ist nur dann falsch, wenn die Voraussetzung gegeben ist, die Folgerung aber nicht - also aus etwas Wahren etwas Falsches folgt.
Ich hoffe, ich habe es einiger Maßen gut erklären können.. :)
Ein Tipp, um es graphisch zu sehen:
Zeichne einen Gerichteten Graphen (also mit Pfeilen)
Wobei die gerichteten Kanten symbolisieren, welches Element mit welchem Element in Relation ist.
Reflexivität bedeutet dann, dass jeder Knoten mit sich selbst verbunden wird
Symmetrie bedeutet, dass wenn es eine Kante in der Hinrichtung gibt, dass es dann auch eine in der Rückrichtung gibt.
Transitivität bedeutet dann, dass falls es eine indirekte Verbindung existiert (also wenn man über Umwege von einen Knoten zum anderen kommen kann), dass es dann auch eine direkte Verbindung geben muss.
Bei einer Äquivalenzrelation erhälst du dann Mehrere getrennte Cluster, wo innerhalb jedes Element mit jedem anderen (und sich selbst) verbunden ist. Jeder Cluster stellt dann eine Äquivalenzklasse dar.
Damit müsstest du dann leicht erkennen können, oh es eine Äquivalenzrelation ist, oder nicht.
Mal es dir auf, dann siehst du es sofort.
das (b,c) , (b,e) usw fehlen ist unerheblich ?