Wie müssen die Parameter a,b,c gewählt werden, damit v ein Eugenvektor zum Eigenwert -1 ist?

Hallo Delight04,

zunächst sollte man sich m.E. vergewissern, dass −1 überhaupt ein Eigenwert von A ist. Bedingung dafür ist

(1.1) det(A − λE) = det(A + E) = 0.

Dabei ist E die 3×3-Einheitsmatrix, und somit ist

                       ⎛1 1 1⎞
(1.2) A + E = ⎜2 4 2⎟.
                       ⎝3 3 3⎠

Die erste und dritte Spalte sind identisch, die erste Zeile mal 3 ergibt die dritte. Die Determinante ist daher 0. Check!

Der nächste Schritt ist, dass

(2.1) u := Av = λv = −v

ist, was sich zu

(2.2) u + v = 0

umstellen lässt. Du solltest zuerst Av = u ausrechnen. Dabei ist

(3.1) uₖ = aₖ₁∙v₁ + aₖ₂∙v₂ + aₖ₃∙v₃

mit k = 1, 2, 3, wobei a₁₁, a₁₂ und a₁₃ die oberste Zeile von A ist usw., d.h., Du gehst quasi mit der linken Hand die k. Zeile entlang und mit der rechten v von oben nach unten entlang.

Insgesamt ergibt sich

          ⎛0 1 1⎞ ⎛2a+b+c⎞     ⎛   a + 2b    ⎞
(3.2)  ⎜2 3 2⎟ ⎜  a − c  ⎟  =  ⎜ 7a+6b+c ⎟ =: u,
          ⎝3 3 2⎠ ⎝ 2b + c ⎠      ⎝9a+7b+2c⎠

wobei ich schon alle Summanden mit a, alle mit b und alle mit c zusammengefasst habe.

Dazu müssen wir noch mal v addieren und gleich 0 setzen:

                   ⎛3a +3b +c⎞     ⎛0⎞
(4) u + v = ⎜  8a + 6b   ⎟ = ⎜0⎟.
                   ⎝9a+9b+3c⎠    ⎝0⎠

Das ist dasselbe Gleichungssystem, das auch der Professor herausbekommen hat. Bis hierher habe ich also richtig gerechnet, es sei denn, der Professor hätte sich auch schon verrechnet.

Die 3. Zeile subtraiert sich durch dreifache Subtraktion der 1. von der 3. zu

(5.1) 0 = 0.

Die 2. Zeile halbiert und von der 1. abgezogen ergibt dort

(5.2) −a + c = 0 ⇔ c = a.

EDIT: Durch den ursprünglichen Vektor v, wie er in (3.2) hinter A steht und dessen 2. Komponente nur a und c enthält, habe ich mich für u + v zum Flüchtigkeitsfehler verleiten lassen, b mit c zu verwechseln. Dadurch "kam heraus" dass nur b von 0 verschieden sein könnte und der zweite Vektor schon Eigenvektor sein müsse. Was in der Gegenprobe prompt schief gegangen ist.

Die zweite Zeile selbst ergibt also

(5.3) 4a + 3b = 0 ⇔ a = –¾b.

EDIT: Ich hatte im Tran falsch umgestellt. b ist betragsmäßig größer als a und c, nicht umgekehrt.

Somit sollte a = c = 3 und b = −4 eine Lösung sein, der Vektor v wäre daher

      ⎛6 − 4 + 3⎞    ⎛ 5 ⎞
(6) ⎜3 − 0 − 3⎟ = ⎜ 0 ⎟.
      ⎝0 − 8 + 3⎠    ⎝−5⎠

Gegenprobe:

      ⎛0 1 1⎞⎛ 5⎞    ⎛−5⎞
(7) ⎜2 3 2⎟⎜ 0⎟ = ⎜ 0 ⎟.
      ⎝3 3 2⎠⎝−5⎠   ⎝  5⎠

Jetzt stimmt's.