Die Zahl 60 soll so in zwei Summanden a und b zerlegt werden, dass das Produkt aus dem ersten Summanden und dem Quadrat des zweiten Summanden maximal wird.?
Thema Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen
Es muss eine Hauptbedingung geben also
60 = a + b
Und die Nebenbedingungen sollte ja demnach
a * b^2 = maximales Produkt
Ich weiß nicht wirklich, wie man das aufschreiben soll und zum Ergebnis kommt.
3 Antworten
Du kannst als Zielfunktion f(b) = (60-b)*b^2 schreiben. Von dieser Funktion ist das Maximum gesucht. Ableiten, Nullstelle suchen.
Hallo,
aus der Nebenbedingung ergibt sich, daß a+b=60, also b=60-a.
Zielfunktion ist dann f(a)=a*(60-a)².
Ableiten, Ableitung gleich Null setzen, a bestimmen.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Kontrolle ist immer wichtig, um sicherzustellen, dass die Lösung nicht am Rand oder ausserhalb des für das Problem relevanten Definitionsbereiches liegt… :-)
Da ein Rand hier gleich Null ist, kann das Produkt am Rand unmöglich maximal werden.
Stimmt - der Rand ist im Allgemeinen nicht das Problem; aber das Maximum könnte bei zwei negativen Seitenlängen liegen; hier Gott sei Dank nicht der Fall… :-)
Es gibt durchaus Aufgaben, bei denen das Maximum oder Minimum am Rand liegt. Deswegen darf man den niemals vergessen und Dein Hinweis war durchaus berechtigt. Die Ränder werden nämlich gern vergessen.
Ich hab mich schon seit kanpp 40 Jahren nicht mehr mit Minimax-Aufgaben beschäftigt, das letzte Mal in der Oberstufe - ich weiss aber noch, dass bei uns immer grosser Wert auf die Betrachtung der Randbereiche gelegt wurde… :-)
Ich finde die Minimax-Aufgaben aber generell toll, da einem als Schüler zum ersten Mal klar wird, welche grosse praktische Bedeutung die Analysis hat, wenn bspw. Dosen für ein bestimmtes Volumen bei minimalem Materialverbrauch produziert werden sollen… :-)
Danke, könntest du mir erklären. wie du auf die Zielfunktion kommst? Also a*(60-a)^2
a*b² soll maximal werden. Da laut NB a+b=60, ist b=60-a.
60-a anstelle von b in die Zielfunktion einsetzen ergibt als Zielfunktion
f(a)=a*(60-a)².
Hier ist die einfachste Lösung, um mir Zeit zu sparen, habe ich eine ai mir die Lösung nach meinen Vorgaben generieren lassen. Sollte, soweit ich es richtig verstanden habe, richtig sein.
Wenn du weitere Frage hast, kannst dich gerne an mich wenden. LG Maxim
Für diese hier habe ich Chat GPT verwendet, man kann aber auch Devin.ai machen. Pass aber auf, bevor ich diese Lösung hatte, hat ChatGPT zwei mal etwas falsches rausgehabt und einmal sogar die Lagrange-Funktion angewendet, was für diese Aufgabe viel zu schwierig und aufwendig wäre. Also würde ich es dir nicht empfehlen, eine ai einzusetzen, wenn du selber die Aufgabe nicht verstehst.
Der Lagrange-Multiplikator mit partiellen Ableitungen ist in vielen Fällen - so auch hier - viel einfacher als die Methode, die man in der Schule lernt.
In meiner Antwort habe ich die Schulmethode erklärt, persönlich berechnet aber habe ich das Maximum über Lagrange.
Das stimmt, aber erstens kenn ich die Methode nur aus persönlichem matheinteresse und kann sie leider nicht immer so schnell und effektiv anwenden 🥲
Zur Kontrolle: a=20, b=40.