Kann man ein Stammfunktion von Mehrdimensionale Integralle Bilden?
Hallo zusammen ich habe gerade in der Schule gelernt wie man mit mehrdimensionale Integrallen rechnen kann. Dabei geht es darum die Volumen von einer Grundfläche(die kann beliebig komplixiert sein) zu berechnen. Dabei kann der Deckel aus einer Hyperfläche sein. So etwas finde ich sau krass, weil man fast jeden körper mit der Hilfe der Analysis berechnen kann. Nun stelle ich mich die Frage kann man so etwas wie das unbestimmte integrall von Mehrere dimensionen bestimmen. Also im 2D geht das: F(x) = S(f(x)dx) +C
Wie würde das bei mehrere Dimensionen Sussehen : F(x) = SS(f(x,y))dydxx ????
Weisst jemand wie das gehen würde, falls so etwas möglich wäre ?
1 Antwort
Ja, das ist möglich, und unter bestimmten Voraussetzungen geht das genau so wie Du es beschrieben hast.
Ein Beispiel:
Das ist so eine Art hügelige Landschaft:
Du kannst Dir f hier zeichnen lassen und näher betrachten, falls Interesse besteht. Jeder Hügel (und jedes Tal) wird dabei durch ein Quadrat mit Seitenlänge pi begrenzt.
Dann wird beispielsweise das Volumen des Hügels auf
so berechnet:
Hier haben wir also ein mehrdimensionales Integral auf eindimensionale Integrale zurückgeführt. Der Satz von Fubini gibt Auskunft darüber, ob dieses Vorgehen im konkreten Fall zulässig ist.
Da hast Du recht, wenn man die Stammfunktionen der Reihe nach bildete, kämen Integrationskonstanten hinzu. Da wir hier aber bestimmte Integrale sofort auswerten, verschwindet die jeweilige Konstante wie gewohnt sofort bei Anwendung des Fundamentalsatzes der Analysis.
Braucht es für dieses Vorgen nicht noch mindestens eine Freie Variable ? C
Den bein integrieren gibt es immer unendlich viele Lösungen. Vorallem in Mehrdimensionen müsste man das nicht noch hinzufügen ?