Mathematische Frage?
kann mir jemand bei dieser Frage helfen? a) hab ich schon aber bei b) fällt mir kein Erklärungsansatz ein. Ich beschreib es mal in meinen eigenen Worten
Eine positive ganze Zahl n, die sich in der Form a zum Quadrat + b hoch 3 mit positiven ganzen Zahlen a,b darstellen lässt, wird als QK-Zahl bezeichnet und alle anderen ganzen positiven Zahlen als Nicht-QK-Zahlen
a) Geben sie an, wie viele QK zahlen es im Bereich 1- einschließlich 100 gibt.
( Das hab ich schon )
b) Entscheiden sie, ob es im Bereich 1-1000000 mehr QK- Zahlen als Nicht QK- Zahlen gibt ( oder eben mehr Nicht-QK-Zahlen als QK-Zahlen)
mein „Bauchgefühl“ sagt mir es gibt mehr QK-Zahlen als nicht QK-Zahlen. Aber ich hab keinen sinnvollen Lösungsansatz.
Kann mir jemand helfen 😅
3 Antworten
QK-Zahl n=a²+b³, a und b ganze Zahlen.
a²+b³ ≤ 1'000'000
a² ≤ 1'000'000–b³
|a| ≤ Wurzel(1'000'000–b³)
|a| ≤ Wurzel(100³–b³)
=> b³ ≤ 100³ <=> b ≤ 100
Für a=0 gibt es also 100 mögliche b, sodass a²+b³ nicht größer als 1'000'000 ist.
Für |a|=1 gibt es
1=100³–b³ <=> b³=999'999 <=> b≈99,9
also 99 positive mögliche Werte. Hinzu kommt noch die Null, da 1²+0³=1 und 1 ist eine postive ganze Zahl.
Die 1 haben wir mit a=0 und b=1 oben auch schon erzeugt, aber mit anderen Werten a und b, also ist es auch ein andere Möglichkeit und danach ist gefragt.
Für |a|=x => x²=100³–b³ <=> b=Kubikwurzel(100³–x²) und b
0 < a²+b³ ≤ 1'000'000
–b³ < a² ≤ 100³–b³
√(–b³) < |a| ≤ √(100³–b³)
Somit gibt es abhängig von |a| immer die Möglichkeiten für a.
–b³+1, –b³+2, ..., 100³–b³
Wenn wir jetzt überall b³ addieren - ändert nicht die Anzahl an Möglichkeiten, nur die Möglichleit selbst - erhalten wir
1, 2, ..., 100³
Für a² erhalten wir also 100³ Möglichkeiten. Wie kann das sein? In 100³ natürlichen Zahlen kannn es doch keine 100³ Quadratzahlen geben... gibt es auch nicht. Wir müss noch die Anzahl an Quadratzahlen aus 100³ möglichen herausnehmen.
Das sind Quadratwurzel(100³)=1'000 mögliche Quadratzahlen. Nun müssen wir noch die b finden, sodass a²+b³≤100³ gilt.
0 < a²+b³ ≤ 1'000'000
–a² < b³ ≤ 100³–a²
Wir erhalten für b³ die Mögichkeiten
–a²+1, –a²+2, ..., 100³–a²
also wieder 100³ Möglichkeiten. Hier müssen wir aber auch wieder zwischen natürlichen und Kubikzahlen - so nenne ich die jetzt mal - unterscheiden. Es gibt nämlich nur Kubikwurzel(100³)=100 mögliche Kubikzahlen.
Um herauszufinden, wann a²+b³≤100³ gilt, müssten wir die genauen Werte wissen.
Für a=0 erhalten wir 100 mögliche (nur positive) b.
Für a=1 erhalten wir 99 positive b und die Null - also auch 100 mögliche b.
Für a=2 erhalten wir wieder 99 positive b, jetzt aber nicht nur noch die Null, sondern auch noch die –1 als möglichen b - also 101 mögliche b.
Für a=3 erhalten wir auch 99 positive b, die Null und die –1.
Wenn a größer als 8 (also 2³) wird, erhalten wir die nächste negative Möglichkeit für b. Allerdings ist für mich so nicht möglich, allgemein zu sagen, wann die positiven Möglichkeiten für b abnhemen - also ohne es auszurechnen.
Ich schätze aber, dass es über 100*1'000=100'000 Möglichkeiten gibt.
Ich hoffe, ich konnte helfen :)
Lösungsansatz: Eine obere Schranke für die Anzahl der QK-Zahlen kleiner als 1000000 ist die Anzahl der möglichen Kombinationen aus Quadrat- und Kubikzahlen, die jeweils auch kleiner 1000000 sind.
... um es auszuführen: es gibt 10³ Quadrat- und 10² Kubikzahlen kleiner als 10⁶. Wenn wir davon jede mit jeder Kombinieren, erhalten wir 10² * 10³ = 10⁵ Kombinationen, was weniger ist als die Hälfte von 10⁶. Die reale Anzahl der QK-Zahlen ist auf jeden Fall kleiner als diese Anzahl von Kombinationen, weil es zu jeder QK-Zahl mindestens eine solche Kombination gibt (und keine zwei QK-Zahlen die gleiche Kombination haben).
Hallo , welchen Ansatz hast du den für den Teil
a) Geben sie an, wie viele QK zahlen es im Bereich 1- einschließlich 100 gibt.
gewählt bzw. wie ist deine Lösung?
Viele Grüße