Spiegelung im dreidimensionalen Raum - Matrix erstellen?
Hi, befasse mich gerade mit der Aufgabe hier und hätte nur ne kurze Frage dazu:
Bestimmen Sie die Matrix der folgenden linearen Abbildung R^3 -> R^3 bezüglich der Standardbasis: Spiegelung an der Ebene E mit E: x1+x2-2x3=0
Also ich hab davor eine Aufgabe bei der es um Spiegelung im 2-dimensionalen an einer Geraden ging einfach diese Householder-Formel hier benutzt(hatten die aber komischerweise nicht in der Vorlesung):
https://de.wikipedia.org/wiki/Householdertransformation
kann ich diese Formel also H=(...) jetzt auch einfach hier anwenden mit v=(1 1 -2)?
mfg
5 Antworten
Wieso Formel? Das kann man ja ganz leicht überlegen...
Siehe Skizze:
Sei P ein Punkt auf der Ebene und X der zu spiegelnde Punkt.
Der Vektor m ist dann die Projektion von (x-p) auf n mal n,
also (hier ist · das innere Produkt):
m = n { (x-p)· n }
Wir lesen ab:
x'-p + 2m = x-p
also
x' = x - 2m
bzw.
x' = x - 2 n { (x-p)· n }
Da die Ebene durch den Ursprung geht können wir P=(0,0,0) setzen:
x' = x - 2 n { x·n }
Daraus kannst du ganz leicht die Matrix ablesen...
Eine Skizze MUSS man sich machen bei solchen Aufgaben ;-)
Die gesuchte Matrix R transformiert einen Punkt X = (x,y,z) in den Punkt X' = (x', y', z'):
X' = R · X
In der Aufgabe ist der Punkt X natürlich nicht explizit gegeben, da der Zusammenhang ja für alle Punkte gilt und nur R gesucht ist. Trotzdem kann man sich überlegen, was mit einem Punkt X passiert und erhält so die Matrix R.
Achso ok alles klar, ich hab es mit mal mit der formel gemacht und kam nach 3 minuten auf diesselbe matrix ohne groß nachzudenken , in der klausur benutze ich lieber die formel geht um einiges schneller aber gut, es einmal verstanden zu haben ist auch nicht verkehrt ^^
Das unter deinem Link angegebene Verfahren ist bei näherer Betrachtung völlig identisch zu meinem.
Der Normalenvektor ist
n = (1 | 1 | -2) / wurzel(6)
Daher ist der gespiegelte Punkt
x' = x - 2 n (x · n)
Das kann man dann ganz leicht auf eine symmetrische Matrixform bringen.
Ok danke habe Spiegelungen nicht so ganz verstanden , welche Formel hast du da jetzt benutzt?
Der Normalenvektor der Ebene, nämlich n =(1,1,-2), wird durch die gesuchte Spiegelungsmatrix S zum entgegengerichteten Vektor -n.
Vorschlag;
Drehe das Koordinatensystem durch eine Drehmatrix D so, daß n proportional zu (0,0,1) wird. Die Spiegelungsmatrix S1 ist dann eine Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen 1, 1, -1.
Im Originalsystem wird die Spiegelung dann durch die Matrix S = D^(-1) S1 beschrieben.
Also aus der Spiegelung einfach eine 180 Grad Drehung machen?Aber wieso soll n proportional zum 3. Basisvektor werden und wie kommst du auf S1? Kann ich denn nicht einfach diese Householder-Formel hier anwenden, weil hab in der Aufgabe davor schon eine Drehmatrix in R3 erstellt.
Projeziere Einfach die Punkte auf die Ebene.
Berechne den Differenzvektor zwischen Ebene und Punkt.
--> Neue Position des Punktes ist dann der Punkt auf der Ebene -/+
Differenzvektor.
Das ganze kannst du dann noch in eine Matrix übersetzen und du bist fertig.
Warum beschreibst du die Koordinatentransformation nicht einfach?
Wie meinst du das jetzt genau? Drehungen hab ich verstanden in R2, R3 aber spiegelungen noch nicht so wirklich, deshalb dachte ich nimm ich einfach diese Formel, geht das nicht?
Ahh ok mit der Skizze hab ich es jetzt verstanden danke :) , aber ich habe ja gar keinen zu spiegelnden Punkt gegeben, sondern nur den normalenvektor n ?