Term einer Funktion 3. Grades bei Symmetrie!? Steckbriefaufgabe

Stimmt das so? 3. Grades, punktsymmetrisch: f(x) = ax^3+bx+c

Nicht ganz. Das +c ist falsch. Das kannst du auch umschreiben zu +c·x^0 und Null ist gerade. Das kannst du dir auch klarmachen, wenn du dir überlegst, was das +c verursacht: Verschiebung auf der y-Achse nach obnen / unten. Wie soll das noch punktsymmetrisch sein?

Ist auch eine achsensymmetrische Funktion 3.Grades möglich oder wäre es dann keine 3. Grades mehr, da sie ja nur gerade Exponenten haben darf?

Genau.

Gibt es dann folglich nur punktsymmetrische Funktionen 3., 5.,7.,... Grades und achsensymmetrische Funkionen 2., 4., 6., .... Grades?

Das stimmt.

Richtig ist: ein allgemeines Polynom n-ten Grades beinhaltet alle Polynome geringeren Gerades, d.h. der Grade 0,1,2,....,n-1. D.h. genau wie in Deiner Beschreibung kann ein Polynom dritten Grades eines Parabel sein.

Den Grad fasst man allgemein als den höchsten auftretenden Exponenten auf.

Allerdings ist es nicht abwegig, eine Funktion auch unter der Berücksichtigung höherer Grade zu betrachten.

Die letzte Aussage von Dir möchte ich mit Vorsicht betrachten, denn es gibt "viele" Funktionen mit Grad "unendlich", die trotzdem gerade oder ungerade sind.

Standardbeispiel sind sin, cos.

Du hast das schon richtig erkannt. Punktsymmetrische Funktionen haben immer nur ungerade Exponenten. Das kannst du dir herleiten aus der Bedingung für Punktsymmetrie. Um zu zeigen, dass eine Funktion punktsymmetrisch ist, musst du zeigen, dass -f(-x)=f(x) gilt. Analog gilt es für Achsensymmetrie. Da muss gelten f(x)=-f(x). Wenn du das einsetzt, kommst du darauf, dass nur rein "ungerade" Funktionen punktsymmetrisch und rein "gerade" Funktionen achsensymmetrisch sein können. LG ChaosAI

Fehler in der Darstellung: Wenn die Funktion zum Koordinatenursprung punktsymmetrisch sein soll, darf sie kein Absolutglied ≠ 0 (bei dir "c") haben, denn sonst geht sie durch ( 0 | c ) und nicht durch den Koordinatenursprung.

Ansonsten hast du Recht: Eine zum Koordinatenursprung punktsymmetrische Funktion ist immer von ungerade Ordnung, eine zur y-Achse symmetrische immer gerader Ordnung.