Was ist unendlich plus endlich?

hmmm, wurde schon viel rumphilosophiert hier. Finde ich auch recht gut, aber denken wir doch an das kleine 5(!)-jährige Mädchen. Also: fangen wir mal an: Nehmen wir mal eine Menge mit endlich vielen Elementen: {2;5;7;20} das sind also 4 Elemente(endliche Anzahl) Nehmen wir nun alle ganzen Zahlen größer 20. Dann haben wir abzählbar unendlich viele Elemente. Addiert man die Mengen, also sowas wie "unendlich plus endlich" erhält man die Menge {2;5;7;20;21;22;23;24;...} mit unendlich vielen Elementen.

Wenn man das jetzt kindgerecht verpackt (bin leider kein Pädagoge) kann das eventuell auch eine 5-jährige verstehen.

Ein wenig spät, aber eine Sache fehlt mir gänzlich hier. Für ein kleine Mädchen, wenn auch inzwischen nicht mehr so klein ^^, sollte es durchaus reichen zu erklären, dass das Objekt niemals aufhört. Quasi ein Bonbon-Automat der immer einen BonBon geben kann. Stellt man nun einen zweiten Automat dazu, kann sie dennoch "nur" unendlich viele essen, nicht 2*unendlich viele. Mathematisch nicht ganz korrekt, aber ausreichend um die Menge etwas bildhafter zu machen. 

Vorab: Physikalisch ist Unendlich natürlich, wie es der Name sagt, Unendlich. 

Das ist natürlich nicht die fehlende Sache. 

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Um es genauer zu nehmen, es gibt tatsächlich Mathematische Werte die größer sind als "Unendlich".

Ѡ (kleines Omega) ist die kleinste unendliche Ordinalzahl. Anders gesagt, würde man Unendlich fertig gezählt haben, so hätte man Ѡ erreicht. 

Kompliziert wird es nun mit der Rechnung Ѡ+1. Da Ordinalzahlen die Ordnung angeben, nach 1 kommt 2 usw., muss das nicht bedeuten, das Ѡ+1 größer ist als Ѡ. Es kommt lediglich danach. Aus diesem Grund gibt es die Kardinalzahlen. Diese geben an, sagen wir, was mindestens verwendet wurde, um diese Zahl zu erreichen.

Die kleinste Kardinalzahl für eine abzählbar unendliche Menge ist Alpeh mit Index 0 -> א

Jetzt, wo man Mengen und deren Ordnung besser beschreiben kann, so kann man nun auch "weiter" zählen. Das muss man auch. Denn die die Potenzmenge von Aleph 0 ist nun mal mehr als Unendlich. 

Die Potenzmenge von der Menge 1,2,3 , also P({1,2,3}) wäre;

P({1,2,3}) = {}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3} sowie {1,2,3}. Es sind also mehr Element vorhanden als nur bei 1,2,3. Um es genau zu nehmen 8, oder 2³.

Diese Potenzmenge lässt sich nun auf Aleph 0 anwenden. Es wäre also P(Alpeh 0). Also der Potenzmenge von Unendlich. Das Beispiel zuvor hat gezeigt, diese Menge muss folglich ermaßen größer sein. Hier befinden wir uns nun in dem Bereich den deine Tochter erfragt, denn, demnach gibt es Ѡ+Ѡ. All dies lässt sich nach Aleph 0 anstellen. Auch Ѡ*Ѡ*Ѡ*Ѡ ist dann möglich, oder anders gesagt. Unendlich mal Unendlich usw. 

Und ja, auch hier gibt es ein Ende, denn, was ist wenn man Unendlich OFT! Unendlich und danach was Ordnet? Richtig, wir haben Ѡ Index 1 erreicht. Anders gesagt, die Menge der Zahlen die Notwendig sind um Ѡ 1 zu erreichen, Aleph 1.

Diese Schreibweise kann man nun, wer hätte es gedacht, unendlich weiter führen. Ѡ 2 sowie Aleph 2, Ѡ 3 sowie Aleph 3, Ѡ 4 sowie Aleph 4 usw. Solange, bis wir Ѡ Index Ѡ sowie Aleph Ѡ erreicht haben. Quasi unendlich viele Unendlichkeiten!! Auch hier endet es noch nicht. Was ist, wenn ich Unendlich viele Unendlichkeiten habe und diese mit zwei multipliziere? Nun, ich hab dann Alpeh Index 2*2. Dieses Spiel geht auch unendlich weiter, bis Aleph Index 2² - > Unendlich viele Unendlichkeiten diese unendlich oft multipliziert.

Jetzt haben wir also "Unendlich" tatsächlich größer gemacht, bis dahin wie wir auch dies unendlich oft größer machten. Auch diese Schritte gehen nun unendlich oft.

Zum besseren Verständnis sollte das Bild nun helfen.

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Gibt es denn nun eine Zahl die so groß ist, dass diese selbst mathematisch niemals erreicht wird? JA!

Hierbei wird gerne θ (klein Theta) verwendet. Eine stark unerreichbare Kardinalzahl, oder auch inaccessible cardinal. 

Die physikalische Erreichbarkeit von Ѡ ist unmöglich, denn wir können immer auf eine Ordinalzahl, zum Beispiel 2000, eine Zahl dazu nehmen, also 2001. Genau so verhält sich die inaccessible cardinal in der Mathematik. Egal wie oft wir Ѡ mit Ѡ multiplizieren, potenzieren, addieren, wir erreichen niemals θ. Wir haben also den selben "Sprung".

Aber was wäre Mathematik ohne noch größer zu werden?

Es gibt Theorien mit Axiomen, so komplex, das selbst 0=1 möglich sein könnte. So gewaltig, so komplex, dass man vermutet, die sogenannte Kontinuumshypothese einst damit eventuell lösen zu können.

Aber wir driften damit so weit in die Mathematik, so dass ich hier auch enden möchte. 

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Fehler, Verbesserung, sonstiges jederzeit gerne.

Rechtschreibfehler sind gewollt und dürfen behalten werden :3

Hallo ! Das ist eine super Frage. Für mich ist die Unendlichkeit außerhalb Raum und Zeit. Endlich liegt für mich innerhalb Raum und Zeit. Ob man das so rechnen könnte , bin ich überfragt. Ich meine nur ob man etwas außerhalb des Raumes und der Zeit, mit etwas addieren kann was innerhalb Raum und Zeit liegt , bezweifle ich. Aber nichts ist unmöglich. Denn in den Quantenphysik kann auch ein Teilchen auch gleichzeitig an mehreren Stellen sein. Aber die Frage war ja, wie kannst du es deiner 5 jährigen Tochter erklären. Ich habe im Netz darüber eine kleine Geschichte gefunden. Vielleicht hilft ihr ja das weiter. Sie ist sehr schön für Kinder.

Wie das Unendlich ins Zahlenland kam .

Einmal lag im Zahlenland die Drei in der Sonne und spielte mit ihrem Holzflugzeug, das ihr ihr Vater aus der Menschenwelt mitgebracht hatte. Das fand die Drei sehr toll. Leider ging es schnell kaputt. Deshalb holte sie Kleber, um ihr Flugzeug zu kleben. Als sie dann wieder auf der Wiese lag (natürlich mit Kleber und Flugzeug) stolperte eine andere Drei über eine Sieben, die ihren Hut verloren hatte und sich deshalb bückte. Es hat keinem weh getan. Das einzige Problem war nur der Kleber, der die beiden Dreien zusammenklebte. Weil die eine Drei auf die liegende Drei flog, sah es wie unser heutiges Unendlich aus. Leider waren damals die beiden Dreien sehr traurig. Deshalb gab es eine Versammlung. Manche Zahlen sagten, sie seien verloren, andere sagten, man sollte sie verbannen, weil sie im Moment keine Zahlen darstellten. Diese Ideen wollten keinem gefallen. Da hatte die schlaue Hundert die Idee: „Dass die Zahlen nicht aufhören - aber dafür muss man sich doch ein Zeichen und ein Wort ausdenken“. Da waren sich alle einig, dass die beiden Dreien das neue Zeichen sein sollten und das Wort Unendlich heißen sollte. Da waren die beiden Dreien glücklich. Jetzt mussten nur noch die Test - Rechnungen gemacht werden. Drei mal Unendlich ist Unendlich. Unendlich durch Drei ist Unendlich. Unendlich plus Zwei ist Unendlich und Unendlich minus Fünf ist Unendlich. Nur irgend eine Zahl außer Unendlich durch Unendlich geht nicht.

1. (-)unendlich ist nicht das gegenteil von endlich, sondern das gegenteil von nichts,0, ,NULL.
2. normales rechnen: damit ist es nur bedingt möglich->grenzen berechnen(limes).
3. kinder: Wenn kinder nach "unendich" fragen,sollte man sich erst damit befassen, dass sie wissen was "nichts" bedeutet.Hat der mensch dies erfasst kann er sich an eine "für sich verständliche" definition unendlichs heranwagen. PS: 0 dividiert durch 0 macht doch auch spaß

LG, BIGOverkILL

In der Mathematik wird Unendlich als eine beliebig große natürliche Zahl verstanden, die sich nicht weiter definieren lässt, weil die Reihe der natürlichen Zahlen nach oben offen ist.

Wenn man Unendlich als abstrakte Zahl N notiert, ist Unendlich + Unendlich = N + N.

Einer Fünfjährigen würde ich erklären, dass Unendlich + Unendlich mehr ist, als sie sich vorstellen kann, selbst wenn sie die Augen ganz fest zudrückt und nachdenkt - und davon dann das Doppelte.