An der Stelle, wo Du von 0x die 0,5x abziehst, hast Du einen Vorzeichenfehler: es muss -0,5x heißen. Dann kommt bei der letzten Division am Ende -0,5 raus, und das ergibt mit (x-2) multipliziert -0,5x+1 und somit kommst Du am Ende auch auf Rest 0.

Fakt ist: ist x0 eine Nullstelle eines Terms, dann ergibt die Division dieses Terms durch (x-x0) IMMER Rest 0, ansonsten ist (wie hier bei dir) etwas schief gelaufen!

3a) Stelle aus der gegebenen Gleichung mit den gegebenen Vektoren ein Gleichungssystem auf und löse dieses.

b) Gibt es eine Linearkombination der 3 Vektoren, die den Nullvektor (0 0 0) ergibt, dann sind die 3 Vektoren linear abhängig, ansonsten linear unabhängig. Also wieder Gleichungssystem aufstellen wie bei a), nur eben nicht "gleich Vektor a", sondern "=(0 0 0)".

4) gleiche Vorgehensweise wie bei 3)

Berechne zuerst die Fläche des sin von 0 bis π.

3:4 bedeutet, dass der Schnitt bei 3/7 dieser Fläche sein muss, d. h. das Integral von 0 bis zur gesuchten Grenze muss 3/7 der sin-Fläche von 0 bis π betragen.

Vervielfacht man die eine Größe und vervielfacht sich die andere dabei um denselben Faktor, dann liegt eine proportionale Zuordnung vor.

Wird die eine Größe mit einem Faktor vervielfacht und die andere muss dabei durch diesen Faktor geteilt werden, damit die Zuordnung stimmt, dann liegt eine antiproportionale Zuordnung vor.

5.1 eine gewisses Gewicht Tomaten entspricht einem bestimmten Betrag. Verdoppelt/verdreifacht/... man das Gewicht der Tomaten, dann werden sich auch die entsprechenden Kosten verdoppelt/verdreifachen/..., d. h. hier liegt eine proportionale Zuordnung vor

5.2 Erhöht sich die Laufstrecke wird sich auch die Laufzeit erhöhen, allerdings nicht um denselben Faktor: ein 10.000 m-Läufer wird nicht nur 100mal länger brauchen als ein 100 m-Läufer, sondern noch etwas mehr Zeit, daher handelt es sich hier weder um eine proportionale noch um eine antiproportionale Zuordnung.

5.4 hast Du nur ein Glas, kommt da der komplette Liter rein (muss wohl ein großes Glas sein...). Bei 2 Gläsern (also *2), halbiert sich die Menge pro Glas (jeweils 0,5 l, also durch 2); somit liegt hier eine antiproportionale Zuordnung vor

Die anderen solltest Du nun auch selbst lösen können.

Hier hast Du es mit einer Normalverteilung zu tun, d. h. hier gibt es keine ganzzahligen n und k und auch kein p, wie Du es aus der Binomialverteilung kennst.

Gegeben ist der Erwartungswert μ=7 und die Standardabweichung σ=0,5.

Gesucht ist bei a) nach P(X<6,8). Um daran zu kommen musst Du aus der Standardnormalverteilung Φ(Z) berechnen/ablesen, mit Z=(X-μ)/σ=(6,8-7)/0,5=-2/5=-0,4, d. h. gesucht ist Φ(-0,4)=1-Φ(0,4)=1-0,6554=0,3446. Φ(0,4) habe ich aus einer Tabelle für Standardnormalverteilung abgelesen.

Unten links muss es in der dritten Zeile -30, nicht +30 heißen (-43-13*(-1)=-30)

a) Die Höhe des Streifens (messen!) entspricht 42 %. Du musst nun ausrechnen, wieviel cm 100 % entsprechen.

b) Berechne das Rechteck (Breite und Höhe messen und multiplizieren). Diese Fläche entspricht 72 %. Gefragt ist wieder nach 100 %.

Beim zweiten hast Du beim Einsetzen die x- und y-Werte vertauscht, d. h. oben muss es E/P2 und unten E/P1 heißen, dann kommt auch dasselbe raus wie bei deiner ersten Variante.

Oben drüber steht die Funktionsgleichung allgemein in der Form f(x)=1/(x-b).

Das b gibt die Verschiebung in x-Richtung an gegenüber der "Standard-Hyperbel" f(x)=1/x.

D. h. bei a) f(x)=1/(x-3) gilt einfach nur b=3, d. h. diese Funktion ist gegenüber f(x)=1/x um 3 Einheiten nach rechts verschoben. D. h. zudem, dass das b auch die senkrechte Asymptote angibt.

Allgemein gilt: mit f(x-b) wird eine Funktion f(x) um b Einheiten in x-Richtung verschoben - bei positivem b nach rechts, bei negativem nach links [d. h. bei Aufgabe c) wurde die Hyperbel 1/x um 3 Einheiten nach links verschoben: f(x)=1/(x-(-3))=1/(x+3)]

Zuerst zeichnest Du die 3 Äste für die drei Kugeln aus Behälter A und von da jeweils abgehend die 4 Äste für die Kugeln aus Behälter B.

Du konntest z. B. auf 4/10 kürzen, weil r=400 bei insgesamt 1.000 Kugeln war. Jetzt ist r aber nicht genau bekannt, d. h. Du musst r/1000 stehen lassen und nicht r/10.

Entsprechend musst Du im Folgenden im Zähler bzgl. der weißen Kugeln die unbekannte Anzahl roter Kugeln von 1000 abziehen, also (1000-r)/1000 rechnen und nicht (10-r)/10 !

Stimmen links- und rechtsseitiger Grenzwert an einer Stelle x0 mit dem Funktionswert an dieser Stelle überein, dann ist die Funktion dort "allgemeingültig" stetig (also durchgehend über diesen Punkt hinaus).

Stimmt nur einer der Grenzwerte mit dem Funktionswert an dieser Stelle x0 überein, dann ist auch nur dieser Teil bis zu dieser Stelle stetig. Danach macht die Funktion einen Sprung auf den Grenzwert der "anderen Seite".

Beispiel: f(x)=1 für x<=0 und f(x)=2 für x>0.

x0=0 => l-lim x->0 f(x)=1; r-lim x->0 f(x)=2; f(0)=1=l-lim => f ist linksseitig stetig an der Stelle x0=0. (danach macht der Graph einen Sprung von y=1 auf y=2)

Zuerst "zerlegst" Du beide Nenner in seine einzelnen Faktoren. Der Hauptnenner ist dann die "Vereinigungsmenge" dieser Faktoren, d. h. Du musst den ersten Bruch mit den Faktoren erweitern die der andere Nenner zusätzlich hat, und den zweiten Bruch mit den Faktoren, die der zweite Nenner gegenüber dem ersten nicht hat. (Vereinigungsmenge ist hier mathematisch falsch ausgedrückt - aber ich hoffe Du verstehst so besser was gemeint ist...)

Beispiel:

b1) hier hast Du links den Nenner 4b, das ist "komplett zerlegt" = 2 * 2 * b; rechts der Nenner lautet 2b², also =2 * b * b.
D. h. im linken Nenner fehlt gegenüber dem rechten einmal der Faktor b, und beim rechten fehlt gegenüber dem linken einmal der Faktor 2, d. h., wenn Du den ersten Bruch nun mit b erweiterst und den zweiten Bruch mit 2, dann lauten beide Nenner 2*2*b*b, also 4b². Dies ist dann der Hauptnenner.

Das Beispiel im Buch ist vielleicht etwas schwer nachvollziehbar, weil da "plötzlich" links mit (a-2) erweitert wurde. Das liegt daran, dass im rechten Nenner (a²-4) steht und das (3. binomische Formel) gleich (a+2)*(a-2) ist.

weiteres Beispiel:

b4) linker Nenner: 10x+10=10(x+1)=2*5*(x+1)
rechter Nenner: 5x²-5=5(x²-1)=5*(x+1)*(x-1) [wieder 3. binom. Formel]
D. h. hier musst Du den linken Bruch mit (x-1) erweitern, und den rechten mit 2. Somit ergibt sich als Hauptnenner: 2*5*(x+1)*(x-1)=10(x²-1).

Zuerst einmal sollt ihr ja den Flugkurs einzeichnen. Der Startpunkt B der Beobachtung ist schon eingezeichnet, fehlt nur noch der Richtungsvektor...

Wie ihr an den Einheiteneinteilungen erkennen könnt, entspricht ein diagonales Kästchen auf der x1-Achse 200 Einheiten, in x2- und x3-Richtung entspricht eine Kästchenbreite/-höhe 100 Einheiten. Ihr müsst nun von Punkt B aus den Vektor (50 -50 -25) abtragen. Nur sind diese Einheiten in den entsprechenden Richtungen bei diesen Achseneinteilungen äußerst ungenau. Da es von B aus aber mit "allen möglichen" Vielfachen dieses Vektors weggeht, macht es für den nächsten Punkt Sinn diesen Vektor mit 2 zu multiplizieren, d. h. ihr geht von B aus den Vektor (100 -100 -50) weiter, also ein halbes diagonales Kästchen nach vorne links in x1-Richtung, dann ein Kästchen nach links und ein halbes nach unten. Durch diesen zweiten Punkt zieht ihr dann die Gerade von B aus durch.

Die Geradengleichung lautet "einfach":

g: x=(-1100 1200 500) + r (50 -50 -25)

Jetzt müsst ihr prüfen, ob L ein Punkt dieser Geraden ist, also die Geradengleichung mit L gleichsetzen und für jede der 3 Koordinaten eine eigene Gleichung aufstellen und jeweils nach r auflösen. Kommt bei allen das gleiche r raus, dann liegt L auf dieser Geraden, was hier aber nicht der Fall sein wird...

Um den tatsächlichen Landepunkt P zu ermitteln, müsst ihr die x3-Koordinate der Geradengleichung gleich Null setzen und das r ermitteln. Dieses r dann in g einsetzen und so den tatsächlichen Landepunkt P ermitteln.

Zuletzt muss nun noch die Entfernung zwischen L und P ermittelt werden, d. h. ihr müsst die Länge der Geraden L-P (oder P-L, das ist natürlich egal) ermitteln und prüfen, ob diese Länge (ist in Metern) innerhalb der 20m-Toleranz liegt.

a) Die "Formel" für die bedingte Wahrscheinlichkeit P_A(B) lautet:

P_A(B)=P(A n B)/P(A)

Der Zähler entspricht der Wahrscheinlichkeit der inneren Zelle (A und B), also hier 60/400 und der Nenner der Summenzelle von A, also 150/400, ergibt (60/400)/(150/400)=60/150=2/5 und P(B) ist 200/400=1/2.

Bei stochastischer Unabhängigkeit müssten beide Werte gleich sein, denn unabhängig bedeutet ja, es ist egal was zuerst passiert (A oder A-Strich), die Wahrscheinlichkeit für B ist gleich. Und das ist hier nicht der Fall.

b) bei stochastischer Unabhängigkeit gilt: P(A n B)=P(A)*P(B), also hier:

60/400=150/400*200/400

3/20=3/8*1/2

3/20=3/16, was offensichtlich nicht stimmt, somit sind A und B stochastisch abhängig.

Am Baumdiagramm erkennst Du die stochastische Unabhängigkeit daran, dass die Äste von A nach B und A-Strich nach B dieselbe Wahrscheinlichkeit haben, d. h. P_A(B)=P_A-Strich(B)=P(B). Dies hast Du mit der Rechnung bei a) geprüft/widerlegt.

Und da bei stochastischer Unabhängigkeit gilt, dass der Ast von A nach B (also P_A(B)) der Wahrscheinlichkeit von B (also P(B)) entspricht, dann muss laut der Multiplikationsregel für diesen Pfad (A/B) gelten (vorderer Ast mal hinterer Ast)=P(A)*P(B). Dies hast Du bei b) geprüft/widerlegt.

Das ist nunmal so als Aufgabe angegeben, d. h. es kommen nicht nur die ganzen Zahlen von -6 bis 6 in Frage bzgl. x²<=36, sondern alle Zahlen von -6 bis 6.

D. h. Du gibst nun keine einzelnen Elemente in geschweiften Klammern an bzgl. der jeweiligen, zu vereinenden Mengen, sondern Intervalle mit eckigen Klammern (da ist nun die Frage, von wo bis wo die beiden zu vereinenden Intervalle gehen, und ob sie offen, halboffen oder geschlossen sein müssen).

Nachtrag:

b) ist nicht korrekt: bei [-3;3] setzt man ebenfalls die reellen Zahlen an, wenn nichts vorgegeben ist. D. h. hier ist die Lösung "alle Zahlen von -3 bis 3 plus der 4 (die Zahlen -1 und 2 sind ja schon in dem Intervall enthalten), also: = [-3;3] n {4}

Um das Volumen oder die Oberfläche einer Kugel berechnen zu können benötigst Du nur den Radius der Kugel. Die Formeln stehen jeweils über den Aufgaben in den gelben Kästchen.

Bei den jeweiligen Aufgaben Nr. 1 sind die Radien angegeben, d. h. Du brauchst nur das r in der Formel durch diese Radien ersetzen und das dann mit dem Taschenrechner ausrechnen.

Bei den Aufgaben Nr. 2 und 3 musst Du etwas aufpassen. Da sind die Durchmesser der Kugeln angegeben. Der Durchmesser ist das doppelte vom Radius. D. h. Du musst erst d durch 2 teilen und erhältst so den benötigten Radius r, den Du nun wieder einfach einsetzen kannst.

Wenn die Ursprungsfunktion als Bruch angegeben ist, also f(x)=(x²+4)/(2x-3), dann würden wohl die wenigsten das zuerst per Polynomdivision in f(x)=1/2x+3/4+... umwandeln und dann die einzelnen Summanden mit der Potenzregel (samt Kettenregel im letzen Summanden) ableiten, sondern (wie Du) direkt die Quotientenregel nehmen wie bei der Alternativlösung gezeigt.

Wieder andere (z. B. ich) würden den Bruch umschreiben in (x²+4)*(2x-3)^(-1) und die Produktregel anwenden (samt Kettenregel beim hinteren Faktor), weil die Quotientenregel bei vielen (mir) nicht sonderlich beliebt ist.

Aber egal wie, es wird (natürlich) immer auf dasselbe hinauslaufen, nur sieht der Term des ersten Lösungswegs wegen der Polynomdivision etwas anders aus.

Die Kontrolle der Randwerte bzgl. der maximalen Steigung ist daher nötig, weil sich dort zwar laut Rechnung keine Wendestellen befindet, trotzdem kann dort die Steigung stärker ausfallen als am errechneten Wendepunkt. Die Funktion könnte ja theoretisch bei t=0 stark steigend beginnen (Aufgabenbezogen: z. B. Neueröffnung/Sonderevent, daher extrem starker Menschenandrang zu Beginn).

Bei f'(6) hast Du ja sogar tatsächlich betraglich eine stärkere Steigung als am Wendepunkt, d. h. dort ist die stärkste (negative) Änderung, trotzdem taucht diese Stelle in der Berechnung der stärksten Steigung nicht auf!

Es stehen 2.100,- € zur Verfügung, also 21,- € je Headset. 0,58 € (=58/100) fallen an Bezugsspesen je Stück an, d. h. die Kosten der Headsets dürfen maximal 21-0,58 € = 20,42 € betragen - nach Abzug der Rabatte. D. h. diese 20,42 € entsprechen dem Preis, nachdem 8 % und 4 % vom gesuchten Listenpreis abgezogen wurden.

Je nachdem wie ihr das rechnet, setzt Du zuerst die 20,42 € = 92 % und rechnest 100 % aus (z. B. Dreisatz) und dieser Betrag entspricht dann 96 % und Du rechnest davon dann 100 % aus. Dies ist der maximal "erlaubte" Listenpreis, um die 2.100,- € Budget nicht zu übersteigen.

In "Kurzform" würde man 20,42/0,92 und das dann /0,96 rechnen, ergibt 23,12 €/Stück.

Probe: 23,12 € ./. 8 % = 21,27 €; 21,27 € ./. 4 % = 20,42 €; 20,42 € * 100 = 2.042 €; 2.042 € + 58,- € Fracht = 2.100,- €