Gauss-Verfahren erklären?

Versuch mal Dein Verständnisproblem in einer Frage zu formulieren. "Immer noch nicht verstanden" führt doch nur dazu, dass man wieder erklärt, was Du bisher schon "nicht verstanden" hast (was auch immer dieses "nicht verstanden" bedeuten soll - mir jedenfalls sagt das nie etwas, wenn hier jemand eine Frage stellt, dessen einzige Aussage "verstehe ich nicht" ist).

Nachtrag nach Ergänzung der Frage (Danke - damit kann man was anfangen)

Vorbemerkung: Sinn und Zweck des Gauß-Verfahrens ist es, die Matrix / oder ein Gleichungssystem auf Diagonalform zu bringen.

Zuerst zu Deiner zweiten Frage: Welche Operationen sind erlaubt?

Erlaubt sind - mathematisch gesagt - alle Äquivalenzoperationen, die den Wahrheitsgehalt einer Gleichung nicht ändern (ganze Gleichungen mit einem Faktor multiplizieren, addieren, auf beiden Seite einer Gleichung etwas addieren oder subtrahieren, eine Gleichung zu einer anderen addieren, das Vielfache einer Gleichung zu einer anderen addieren oder subtrahieren)

Damit hast Du dann die Methoden zur Hand, um Deine erste Frage anzugehen: Wie bekommt man in den Zeilen die Nullen?

Ich gehe hier sehr, sehr stur und formal vor, auch wenn es oft auch mal einen kürzeren Weg geben mag. Ich mache mal eine einfaches 2-dimensionales Beispiel:



Aufgabe nun: Mach in II aus dem 3·x eine 0. Dann rechne ich ganz stur einen Faktor f = - 3/5 aus und rechne dann:

und bekomme damit die neue Gleichung I' (und schreib nochmal die Gleichung II unterhalb dran)

Und nun wird hoffentlich klar, warum ich den Faktor -3/5 gewählt habe. Wenn ich nun zu Gleichung (II) die Gleichung (I') addiere, wird in der neuen Gleichung (II') der Term mit x verschwunden sein. Mach' ich jetzt mal (II') = (II)+(I')



oder



(mit viel Übung macht man das natürlich in einem einzigen Schritt)

Hier ist dieses simple 2-dimensionale Gauß-Verfahren der Überführung in eine Dreieckmatrix im Grunde beendet und es beginnt das "Rückwärtseinsetzen"

Aus Gleichung (II') wird

und damit lässt sich dann (I') auflösen

Und wenn Du das jetzt alles in Matrixform schreibst, änderst sich im Grunde absolut nichts außer, dass Du die Variablen nicht hinschreiben muss und jedes mal wo hier zwei neue Zeilen steht in Matrixschreibweise eine neue Matrix steht.

Zur letzten Deiner drei Fragen: Muss es am Schluss in der Matrix eine 1 stehen oder nicht?

Nein. Das Gauß-Verfahren benötigt keine "1", dafür aber das Rückwärtseinsetzen. Das unterscheidet es - nach meinem Verständnis - vom Gauß-Jordan-Verfahren, das darauf abzielt, in der Diagonale der Matrix nur Einsen stehen zu haben und sonst nur Nullen in den "Nicht-Diagonalmatrixelementen", sodass man sofort die Ergebnisse aus dem Ergebnisvektor ablesen kann.

Zuletzt eine Empfehlung: Versuch mal mein simples Beispiel in Matrixform zu schreiben.