Gleichungssystem mit Ungleichung?
Hallo Community,
die Aufgabe lautet: Der Graph einer rationalen Funktion 3. Grades berührt die x-Achse für x=-3 und hat im Punkt (0/4) ein relatives Maximum. Geben sie die Gleichung dieser Funktion an.
Allgemein bin ich erstmal so vorgegangen: f(x)= ax^3+bx^2+cx+d
f'(x)=3ax^2+2bx+c; f''(x)=6ax+2b => durch einsetzen komm ich auf 1. -27a+9b-3c+d=0 2. d=4 3. c=0 und 4. b<0, da die 2. Ableitung an einem Hochpunkt ja kleiner als 0 sein muss. Aber wie löse ich damit das Gleichungssystem? Bisher weiß ich dass f(x) -x^3-irgendwasx^2+4 sein muss aber weiter komm ich nicht, ohne rumzuprobieren...
Danke im Voraus an alle die Helfen :)
5 Antworten
Ich kann dir nicht ganz folgen und glaube, dass du da etwas nicht so richtig verstanden hast.
Du hast bereits richtig erkannt: Grad drei heißt, wir haben die Grundgleichung:
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Das sind vier Unbekannte (a,b,c,d), die wir berechnen müssen. Dafür brauchen wir auch (mindestens) vier Gleichungen, also auch (mindestens) vier Bedingungen, die wir aus dem Text erkennen müssen.
berührt die x-Achse für x=-3
Das ist also eine Nullstelle bei x=-3. Allerdings keine einfache, sondern eine doppelte. Wieso?
Den Unterschied macht das berührt. Der Graph schneidet die x-Achse nicht, er berührt sie nur. Das bedeutet, dass der Graph sich an dieser Nullstelle wendet, die Steigung ändert also wieder ihr Vorzeichen und du hast dort einen Hoch- oder Tiefpunkt. Hier einmal der Unterschied zu sehen:
Links eine einfache, rechts eine doppelte Nullstelle.
Was heißt das nun für die Bedingung?
- Klar, wir haben eine Nullstelle bei x=-3, also gilt f(-3) = 0
- Weil es jetzt auch ein Extrempunkt ist, gilt auch die Bedingung dafür. Sprich, f'(-3)=0, weil im Extrempunkt die Steigung null ist (mehr dazu weiter unten).
Das sind bereits zwei Bedingungen.
und hat im Punkt (0/4) ein relatives Maximum
Punkt (0|4). Klare Sache, der Graph geht durch diesen Punkt, dadurch haben wir die 3. Bedingung f(0) = 4.
Und da in diesem Punkt ein relatives Maximum (ein Hochpunkt) liegt, weißt du wie vorhin schon: In diesem Punkt herrscht die Steigung null. Die Steigung gibt ja der Ableitungsfunktion an. Also ist die vierte und letzte Bedingung:
f'(0) = 0
Also noch einmal alle übersichtlich:
- f(-3) = 0
- f'(-3) = 0
- f(0) = 4
- f'(0) = 0
Durch die 3. und 4. Bedingung wird dein LGS vereinfacht. Setzten wir mal die 3. ein.
f(x) = ax³ + bx² + cx + d, nun gilt: f(0) = 4
4 = 0 + 0 + 0 + d
4 = d
Schon hast du eine Lösung für d, ohne überhaupt ein LGS aufgestellt zu haben. Gleiches funktioniert auch bei der 4. Bedingung mit der Ableitungsfunktion, weil du dort für x die null einsetzt. Dort wird dann c=0 rauskommen. Das c*x kannst du also auch für die anderen beiden Bedingungen komplett ignorieren, denn c ist null und fällt somit weg. Für d setzt du hingegen schon eine vier ein.
Es bleiben noch zwei Gleichungen übrig und du brauchst auch nur noch a und b zu berechnen. Also hast du ein LGS mit zwei Gleichungen, was du dann noch lösen musst. Die zweite Ableitung haben wir überhaupt nicht benötigt!
Wenn noch Fragen offen sind, einfach kommentieren :)
Liebe Grüße
TechnikSpezi
Passiert natürlich schnell, wenn man das Thema eben noch nicht so super beherrscht.
Deswegen mein Tipp immer:
Du bekommst immer so viele Informationen, wie du brauchst, sonst könntest du das ja nicht lösen. Wie ich schon sagte:
Hast du eine ganzrationale Funktion 3. Grades, hat die Grundgleichung 4 Unbekannte. Du brauchst immer genau so viele Gleichungen wie Unbekannte und damit auch genau so viele Bedingungen.
Kurz gesagt: Du brauchst immer eine Bedingung mehr, als der Grad der Funktion ist.
Wenn du nicht alle hast, muss dir klar sein, dass du etwas übersiehst. Dann musst du nochmal genau schauen, was du übersehen hast. Das war jetzt ein perfektes Beispiel, dass nicht immer nur die Zahlen und mathematische Worte irgendwelche Bedingungen bedeuten. Hätte da "schneidet" statt "berührt" gestanden, wäre die Bedingung f'(-3)=0 nicht da gewesen bzw. du hättest nur eine weniger gehabt. Also ganz genau lesen und gut nachdenken! :)
Ignoriere erst einmal die Ungleichungen. Löse das Gleichungssystem erst einmal ohne die Ungleichungen und überprüfe erst danach, ob die Ungleichungen passen.
(Ich gehe mal davon aus, dass es sich um eine ganzrationale Funktion 3. Grades handeln soll. Ich wüsste nicht, was eine rationale Funktion 3. Grades sein soll.)
Du hast übrigens eine Gleichung vergessen, nämlich f'(-3) = 0. Der Funktionsgraph soll die x-Achse an der Stelle x = -3 berühren, was neben der Bedingung f(-3) = 0 auch die Bedingung f'(-3) = 0 liefert.
Hier ein Lösungsvorschlag ...
f(x) =(-8/27)x³ - (4/3)x² + 4
x01 = -3
x02 = -3
x03 = 3/2
-27a+9b+4=0
27a -6b = 0
Die zweite Gleichung kommt daher, dass die
Steigung bei -3 = 0 ist.
berührt die x-Achse für x=-3
Bei x = -3 ist die Steigung auch = 0.
Achsooo, das hab ich komplett vergessen xD. Damit lässt es sich dann auch vernünftig lösen ^^. f(x)= (-8)/(27)x^(3)-(4)/(3)x^(2)+4 ist quasi das Ergebnis und wenn man das bei GeoGebra oder so eingibt kommt auch das raus, was angegeben ist :D danke