Ist falsche Aussage und leere Menge das gleiche?
Beim Thema Gleichungen kommt mir bei einer Rechnung 0(x)= -6 raus. Ist das eine leere Menge L={} oder eine falsche Aussage f.A. Bei welcher Art von Gleichung kommt was und was ist eigentlich der Unterschied?
Danke im voraus
5 Antworten
Kategorienfehler.
0 = -6 ist eine falsche Aussage
und deshalb ist die Lösungsmenge leer.
Du musst es inhaltlich sehen.
Gewöhnlich ist die Lösungsmenge |L leer, wenn es keine Lösung gibt, z.B. wenn bei der p,q-Formel der Radikand negativ ist.
Aber es gibt auch Aufgaben, bei denen gerade das, was falsch ist, als Lösung gesehen wird, z.B. beim Widerspruchsbeweis. Meist wird man keine Lösungsmenge daraus machen, aber unmöglich ist es auch nicht.
Wichtig ist noch, dass die Null auch eine gültige Lösungsmenge ist.
Dann ist eben IL = { 0 }.
Auch wenn man Null ländläufig als Nichts sieht, ist eine Lösungsmenge, die aus 0 besteht, keineswegs leer.
Eine Aussage ist eine Aussage, und eine Menge ist eine Menge. Natürlich ist das nicht dasselbe.
Ich kann jedoch, sofern die Assage (mindestens) eine Variable enthält, eine Menge so definieren: "Menge der Elemente, auf die die Aussage zutrifft". Im Falle einer falschen Aussage ist die so gewonnene Menge immer leer. - Daraus kann man aber nicht machen, das sei dasselbe.
Kurze Antwort: NEIN
Lange Antwort:
false!={}, weil man da die sprichwörtlichen Äpfel mit Birnen vergleicht.
Was du allerdings meinst, ist folgendes:
Die Rechnung hat keine Lösung (da 0*irgendwas=0), es also kein x gibt, für das diese Aussage zutrifft. Dann kann man die Lösung des Problems auf zwei Arten schreiben: f.A (falsche Aussage), kL (keine Lösung) oder so. Und natürlich durch die explizite Angabe der Lösungsmenge (nennen wir sie L)
L ist in diesem Fall in der Tat identisch der leeren Menge. Also kann man auch schreiben L:={ }
Unter diesem Aspekt ist es das "gleiche", denn die Lösungsmenge einer nicht lösbaren Aufgabe ist nun mal leer.
Also folgt auf eine falsche Aussage automatisch eine leere Menge?