Warum funktionieren Thermometer, wenn Flüssigkeiten inkompressibel sind?

Alle Stoffe zeigen thermische Ausdehnung (bis auf ein paar wenige, die in einem be­stimmten, meist nur engen Temperaturbereich negative Ausdehnungskoffizienten ha­ben). Außerdem sind alle Stoffe kompressibel, d.h., verkleinern ihr Volumen unter Druck.

Gasvolumina sind sehr stark von Druck und Temperatur abhängig. Bei Festkörpern und Flüssigkeiten sind diese Effekte viel kleiner, aber trotzdem vorhanden:

• Wasser hat z.B. bei 20 °C eine Dichte ρ=0.9982 g/ml, und bei 90 °C eine von 0.9653 g/mol. Das sind immerhin 3.3%; ein Liter Wasser legt also beim Erwärmen 20 °C → 90 °C also stolze 32 ml Volumen zu.
• Die Kompressibilität von Wasser ist gering, etwa 4⋅10¯⁵ bar¯¹. Bei 1000 bar Druck macht das aber doch schon 4% aus — das ist ungefähr der Druck am Grunde des Marianengrabens (≈10 km tief). Könntest Du das Meerwasser durch einen Zauber­trick wirklich völlig inkompressibel machen, dann würde es sich um ungefähr 1% ausdehnen (Oberflächenwasser weniger als das in der Tiefe), und die Meeres­spiegel würden um geschätzt ein paar Dutzend Meter steigen.

Kompression einer Flüssigkeit hat nichts mit deren Temperaturausdehnung zu tun. Das ist etwas völlig anderes.
Nimmt man ein Stück Schaumstoff, so lässt es sich total leicht zusammendrücken. Legt man es aber auf den Boden und ändert die Temperatur, so wird es sich auch entsprechend zusammenziehen oder ausdehnen. Das ist unabhängig voneinander.

kompressibel = zusammendrückbar. Das wäre eine mechanische Kraft und die kann keine Volumenänderung bewirken. Wärme bzw. Temperatur kann das aber.

In dem Röhrchen ist ein Vakuum, deswegen kann sich die Thermometerflüssigkeit ausdehnen.

wenn Flüssigkeiten inkompressibel sind?

Eben deshalb, aber ausdehnen tun sie sich schon bei Temperaturänderung.