Frage an Mathematik-Experten oder an Mathematik-Genies?
Ist 0, 999.. ad Infinity = 1 oder = 1 - 1/unendlich?
4 Antworten
Wir definieren
x := 0,9999...
und erhalten damit
x = 0,9999... |*10
10 x = 9,9999... |–x
9 x = 9 |:9
x = 1
Man kann es aber auch mit der geometrischen Reihe zeigen.
0. Periode 9 und 1 repräsentieren beide die selbe Zahl. (zumindest nach den üblichen Konventionen der Mathematik)
Das würde auch bedeuten, dass eine unendlich kleine Zahl nicht größer sei als O.
Sowas wie eine "unendlich kleine Zahl" gibt es in den reellen Zahlen nicht, da das die Axiome der Reellen Zahlen verstoßen würde.
Denn für jede positive reelle Zahl x, gibt es eine reelle Zahl y, sodass 0< y < x gilt.
Daraus folgt zwangsläufig dass 1/0 = unendlich.
Da deine vorherige Aussage falsch ist, folgt diese nicht.
1/0 = unendlich. Wobei es sich hierbei um das schwächste Unendlich handelt. Bei Unendlich/0 wird es aber schon interessanter. Weil das Ergebnis eine höhere unendliche Mächtigkeit darstellt. Gleichbedeutend mit unendlich^unendlich
Das ist mathematisch das selbe.
lim x->∞ (1-1/x)=1
0.99999...=1
Um keine Grenzwerte zu bemühen: 1/3=0,333... | *3 <=> 3/3=1=0,999...
Nicht nur das Gefühl trügt, sondern auch eine Art von Logik. Und Logik die Basis aller Mathematik.... Erreicht nämlich 0,999.... niemals die 1..Weil es unendlich lange dauern würde
1- 1/unendlich=1.
Das ist eben der höchst geistige Verständnisproßes, dass durch Deduktion klar ist, das n->Unendlichen 1/n=0 ist. Das kann man real nicht erreichen, unser Interlekt schon.
Sehe ich das so. Wir können uns keine Zahl/Menge/Größe vorstellen, welche unendlich klein ist. Selbst in der Theorie oder in unserer verrücktesten Phantasie nicht. Weil eben eine unendlich kleine Zahl/Menge/Große = 0 bedeutet. Denn was bedeutet die Zahl 0 für uns, wenn sie alleine dasteht? 0 = Nichts. Also kann auch ein unendlich kleines Ding oder eine unendlich kleine Zahl nicht existieren. Doch 0 ist nicht gleich nichts, sondern eben nur unendlich klein.
"...vorstellen...welche FAST unendlich klein ist." Diese Zahl(en) werden mit dem griechischen Buchstaben Epsilon>0 symbolisiert
"Und was bedeutet die Zahl 0 für uns, wenn sie alleine dasteht? 0 = Nichts."
"Nichts" ist nun kontextabhängig, aber 0 hat weder einen positiven noch negativen Zahlenwert.
"Also kann auch ein unendlich kleines Ding ... nicht existieren. " Ja,stimmt.
"...oder eine unendlich kleine Zahl...nicht existieren." Nein das ist Zahl Null=0.
0 = 1/unendlich = 2/unendlich = 3/ unendlich...ect. wenn auch nicht oder noch nicht definiert.
Doch, ich kann. Denn es gibt nicht nur ein unendlich, sondern eine ganze Latte davon. Das von dir o.g. unendlich ist die niedlichste unendliche (transfinite) Kardinalzahl.
1/O = 2/0 = 3/0 = unendlich = aleph null. .. pi/0 = Aleph 1 oder Aleph 2
Das ist sowrit korrekt, denn lim n->∞ von a/n, a ∈ℕ, strebt gegen 0.
Ja, die Grenzwerte sind gleich. Aber in Termen mit unendlichkeit um sich zu schmeißen ist Stuss. Wenn wir schreiben 1/∞=2/∞, können wir auch 1=2 schreiben.
1/∞ ist als Grenzprozess zuverstehen, allgemein schreibt man das ja mit lim n->∞ von a/n, a ∈ℕ, und wenn man faul ist und weiß was man tut mit 1/"∞".
(Das habt ihr i.d.Schule sicher bei l'hospital gedanklich schon ähnlich gebraucht.)
Unter dieser Prämisse ist 1/∞=2/∞ durchaus korrekt.
Aber es ist verboten (weil undefiniert) *∞ zu rechen. Sonst käme eben der Mist 1=2 heraus.
Nein. Die unendliche Summe von unendlich kleinen Zahlen sind kontraintuitiv!
Lim n, k⇾∞ (1/k+2/k+3/k+..+n/k ) ⇾ ∞
Es ist: (1/k+2/k+3/k+..+n/k )=1/k*(1+2+3+..+n ) mit (Gauß- Summe) folgt 1/k*[n*(n+1)/2].
Streben n , k "gleichmäßig" zur Unendlichkeit, ist n=k erlaubt.
1/n*[n*(n+1)/2]= n/n*(n+1)/2=(n+1)/2
Und Lim n⇾∞ (n+1)/2 ⇾ ∞
D.h. also, die Glieder konvergieren langsamer nach 0, als die Summe der Brüche steigen.
Na hoffentlich habe um die Zeit nichts vergessen...
Mir fällt nur das fehlende "ich" in der letzten Zeile auf :P
Nach Candor: aleph ist die Kardinalität, also Mächtigkeit von unendlichen Mengen.
aleph null die der -- abzählbar unendlichen -- natürlichen Zahlen.
aleph eins, die der -- überabzählbar unendlichen -- der reelen Zahlen.
Die meinst also das | 1/"0" | = aleph null und | Pi/"0" | = aleph eins ist, weil Pi reel.
Interessante These und interpretationsfähig.
Das du in deinen „unschönen“,d.h. falschen, Schreibweise, "... 1/0 oder 1/unendlich ... ", stillschweigen nur in ℕ, ℤ o. ℚ , und dann plötzlich in ℝ bist, ist Willkür, wenn du das nicht vorher angibst.
Und auch wenn du in der Grundmenge bleibst ist „unendliche“ nicht gleich „unendlich“, DAS kommt auf den Fall/Kontext an.
Meines Wissens kann man 0.999...=1 definieren oder sagen, es sei ungleich 1. Es ist nicht möglich, das Kontinuum mit Punkten so aufzufüllen, dass da wirklich das ganze Kontinuum gefüllt ist. Dies hängt eng mit dem Satz von Turing zusammen: https://fragen-raetsel-mysterien.ch/der-satz-von-turing/
Es gibt verschiedene Ansätze, dieses Problem zu beheben. Z. B., indem man zusätzlich zu den reellen Zahlen eine neue Sorte von Zahlen einführt, die nicht als Punkte dargestellt werden, sondern als unendlich kleine Bereiche, die zwischen Punkten liegen. Meines Wissens gibt es noch keine wirklich befriedigende Lösung dieser Frage. Nichtsdestotrotz wird in manchen Mathe-Vorlesungen 'bewiesen' dass 0.999...=1 sei.
Dann muss aber auch 1/unendlich + 1/unendlich + 1/unendlich .....= 1 sein.
Mit solchen 'leichten' Beweisen kann man auch beweisen, dass unendlich-unendlich = pi ist. https://www.youtube.com/watch?v=78GtW3GKhOM
Und weil unendlich-unendlich=0 ist, ist also pi=0.
Meinst du das ehrlich oder nur närrisch und absurd?
Hast du den Film geschaut? - Da wird das erklärt. Ich meine, man sollte solche 'Beweise' nicht als Beweise akzeptieren. Deshalb glaube ich auch nicht an die 'Beweise', dass 0.999...=1 seien. Diese basieren auf ähnlichen Ungenauigkeiten.
Pi ist eine transzendentale, überirdische und gottgleiche Zahl, die sich noch nicht einmal der Begründer der TM (Transzendentalen Meditation) vorstellen konnte
Ich könnte mir vorstellen, dass der Begründer Transzendentalen Meditation nicht sehr viel Ahnung von Mathematik hatte. Wenn er pi 'überirdisch' nennt, bestärkt sich diese Ansicht noch.
Nein man kann das nicht beweisen, genau das ist ja die Aussage von Riemann. Und deswegen ist Unendlich keine Zahl, sondern nur ein Symbol mit dem man eben nicht rechnen kann. Warum unendliche Summen verschieden (mit unterschiedliche Kon-/Divergenzordnung) sind, wenn man sie umordnet, liegt an der Natur der Unendlichkeit dieser Summen. Wer sich dafür genau interessiert möge eine Vorlesung Analysis 2,3,4 in einer Universität besuchen oder gute Mathematik Bücher studieren.
Ich sage ja, man soll diese 'Beweise' nicht als Beweise akzeptieren.
Nein, solche Filme sehe ich mir nicht an. Sie können zwar Recht haben, doch ziehe ich es lieber vor, selber darüber nachzudenken.
Überirdisch ist pi, weil sie die Königin aller reellen und irrationalen Zahlen darstellt.
pi=0, so ein Quatsch auch!
Die "Rechnung" unendlich-unendlich ist nicht definiert. Ganze einfach, weil sie indefinit ist. Mit falschen/erfundenen Rechenregelrn, kann man alles meinen/rechnen.
Genau das habe ich Pesheva geschrieben. Es ist Unsinn. Er hat geschrieben:
Dann muss aber auch 1/unendlich + 1/unendlich + 1/unendlich .....= 1 sein.
Und darauf habe ich geschrieben, wenn er solche 'Beweise' führt, könne er auch beweisen, dass pi=0 ist. Das zeigt offensichtlich, dass er solche Sachen nicht machen darf.
OK, was sagst du da zu:
Summe k=1 bis k von (1/k), hat k Summanden, ist nichts andres als:
k*(1/k)≡1, ∀k ! , auch für k⇾∞
Da teilst du ja nirgends durch unendlich. Und du ordnest auch nicht eine unendliche Reihe in Paare von zwei Summanden, die du nach Belieben anders anordnest, wie das im Link https://www.youtube.com/watch?v=78GtW3GKhOM bei Minute 5:23 passiert. Mit ∞ kann man schon tolle Sachen machen. Aber man muss eben auch wissen, was man darf und was nicht.
Es ist nicht möglich, das Kontinuum mit Punkten so aufzufüllen, dass da wirklich das ganze Kontinuum gefüllt ist.
So sind die reellen Zahlen aber definiert. Als der Abschluss der Rationalen Zahlen. Die reellen Zahlen haben also keine "Lücken"
Meines Wissens gibt es noch keine wirklich befriedigende Lösung dieser Frage.
Klar gibt es sie.
Aus dem System der Axiome, die die reellen Zahlen definieren, folgt, dass 0. Periode 9 und 1 identisch sein müssen. Man benötigt keine keine neue Sorten von Zahlen.
Da sind eben zumindest manche Mathematiker anderer Ansicht. Und ich habe den Eindruck, das sind gerade diejenigen, die sich besonders intensiv mit dem Thema befasst haben.
Das Problem ist: Es gäbe nach dieser Definition überabzählbar unendlich viel mehr reelle Zahlen, als definiert werden können. Es gäbe so viele reelle Zahlen, dass bei gewissen Konstruktionen niemand mehr sagen kann, ob es sich um eine seriöse Definition einer reellen Zahl handelt oder nicht. Das heisst, du liest dann einen mathematischen Text, weisst aber nie, ob das überhaupt Sinn macht oder nicht. Und das liegt nicht daran, dass das Mathebuch schlecht ist oder dass du nicht klug genug bist. Es könnte dann gar kein Mathebuch und keinen Mathematiker mehr geben, dem das nicht passiert. Die Unsicherheit läge bereits in der Konstruktion der reellen Zahlen. Und sie liesse sich durch nichts mehr eliminieren.
Gregory Chaitin, ein Spezialist auf diesem Gebiet, schreibt, man müsse deshalb Mathematik experimentell betreiben, wie die Physik. Man müsse Annahmen treffen und dann schauen, ob diese zu Widersprüchen oder Problemen führen. Die Resultate seien dann Theorien, die sich besser oder weniger gut bewährt hätten. Eine Gewissheit gäbe es dann nicht mehr. (Gregory Chaitin, 'The limits of mathematics'. - So habe ich ihn jedenfalls verstanden, nachdem ich länger mit meinem Matheprofessor darüber diskutiert habe.
Das würde auch bedeuten, dass eine unendlich kleine Zahl nicht größer sei als O. Daraus folgt zwangsläufig dass 1/0 = unendlich. Was aber bisher von der Mathematik nicht definiert wurde. Obwohl es doch auf der Hand liegt