g°f und f injektiv => g injektiv?

Hallo,

sei f: X-->Y und g: Y-->Z und dementsprechend g°f : X --> Z.

Ich versuche folgendes zu zeigen: g°f und f injektiv => g injektiv

Mir sind die Definitionen von Injektivität und Surjektivität klar. Hier habe ich allerdings ein Problem.

Ich möchte ja für alle a,b in Y zeigen, dass aus g(a)=g(b) folgt, dass a=b.

wenn ich nun f(g(a))=f(g(b)) betrachte, so ist das ja f°g und ich kann die Injektivität von g°f nicht gewinnbringend nutzen.

Auch kann man nicht sagen, dass u,v in X exisitieren, so dass a=f(u) und b=g(v) und dann mit g(f(u))=g(f(v)) arbeiten, weil man leider nicht weiß, ob f surjektiv ist.

Kann mir wer helfen?

1 Antwort

Von Experte MagicalGrill bestätigt

FataMorgana2010

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Beweis

31.10.2021, 16:26

Das gilt auch nicht.

Einfaches Beispiel:

X = {1}

Y={1,2}

Z={1}

f(1) = 1 (das ist natürlich injektiv)

g(1) = g(2) = 1 (das offenbar nicht)

g(f(1)) = 1 (und das auch wieder offenbar injektiv)

Du hast das richtig erkannt: es hängt an der Surjektivität von f.

Falls das eine Aufgabe ist: überprüfe bitte, welche Schreibweise der Autor für die Verknüpfung von Funktionen benutzt. Es gibt (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Komposition_(Mathematik)#Abweichende_Schreibweisen ) Autoren, die das gerade andersherum auswerten, also g°f(x) = f(g(x)).

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Dipl.-Math. :-)