Konvergiert die Reihe k/(1+k^2)?
Hallo, ich bin gerade am Stoff wiederholen und komme einfach nicht auf eine vernünftige Lösung für die obige Reihe. Kann mir da jemand helfen?
Eine zweite Aufgabe die ich nicht so recht lösen kann ist die: zeigen sie dass das folgende integral endlich ist: integral von 0 bis unendlich von sin(x)/x dx
mein Ansatz ist dass ich das integral erstmal von 0 bis 1 und 1 bis unendlich aufteile, aber irgendwie komme ich trotzdem nicht weiter
Danke!
2 Antworten
Die von Dir angegebene Reihe divergiert, da man sie so umformen kann, dass sie die divergente Harmonische Reihe majorisiert.
Das von Dir angegebene Integral ist das sogenannte Dirichlet-Integral. Dies kann man mit Feynman‘s Trick lösen, indem man
setzt, I(t) nach t ableitet, die Ableitung doppelt partiell integriert, dann wieder nach t integriert und das Integral I(t) schliesslich an der Stelle t=0 auswertet:
So geht das:
summe k/(1+k^2) = summe 1/((1/k) + k) > summe 1/(k + k) = 1/2 summe 1/k,
da 1/k < k für alle k>2
k / (1 + k^2) = k / (k * (1 / k + k)) = 1 / (1 / k + k)
Und das konvergiert gegen Null.
Vielen Dank!
Eine Frage hätte ich aber noch, wie kann man die Reihe umformen sodass sie die harmonische Reihe majorisiert. Ich meine k/(1+k^2) < k/k^2=1/k
wenn dann, dann ist die harmonische Reihe doch eine majorante. Und die harmonische Reihe divergiert, also kann man nichts aussagen