Warum funktioniert die Aufgabe so?
Mussten so eine Matheaufgabe bearbeiten, haben aber nicht verstanden, warum die Nummer e) so funktioniert. Kann mir das vielleicht jemand erklären?
hier die ganzen Aufgaben und die Lösung die wir nicht nachvollziehen können
3 Antworten
Du siehst in deinem Skript die Gauss-Formel.
Die Gauss-Formel funktioniert nur für natürliche Zahlen, weil sie auf der Idee basiert, dass die Summe der Zahlen gleich
(1+n) + (2+ n-1) + (3+ n-2) usw. entspricht.
Also konkret:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 kann auch ausgedrückt werden als
1+10
2+9
3+8 usw.
Du siehst schon: Die Formel nutzt die "Symmetrieeigenschaft" von natürlichen Zahlen. Versuche mal als Gegenbeweis folgendes (anhand von ganzen Zahlen):
-4 + -3 + -2 + -1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 ergibt die Summe 0
Wende nun das gleiche anhand der Gauss-Formel an:
Was natürlich komplett falsch ist!
Was ist passiert: Die Null (der Zahlenraum der "ganzen Zahlen") stört die Symmetrie der o.g. Folge. Die Zahlen -4 und +4, -3 und +3 heben sich schön auf, am Ende bleibt die Summe 0.
Die Gauss-Formel bildet dies nicht ab. Wenn du versuchst, die Gauss-Formel auf ganze Zahlen anzuwenden, dann stören die negativen Zahlen die symmetrische Struktur: Das Konzept der "Mitte", an welcher die Zahlen "gekürzt" werden, ist nicht mehr klar definiert.
Im "Sachzusammenhang" also: Die negative Zahl ist zwar eine Lösung der quadratischen Gleichung. Wie du am o.g. Beispiel erkennst funktioniert aber die Summe der negativen Zahlen nicht anhand der Gauss-Formel. Die "Null" stört.
Du löst die quadratische Gleichung
f(x) = n² + n - 4160 = 0
Der Rechentrick wurde übrigens im 18. Jh. von einem Mathematiker
entdeckt, der es zu einem gewissen bescheidenen Ruhm gebracht
hat und nach dem das Verfahren benannt ist.
Zuerst formst du um in
1/2*n² + 1/2*n - 2080 = 0
Das kannst du mit 2 multiplizieren, denn die rechte Seite
bleibt 0. Das Multiplizieren ist nötig, weil für die pq-Formel
der Koeffizient von x² 1 sein muss.
Warum das so funktioniert, kann man hier nachlesen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel
Die Idee: Man sortiert die Zahlen so um, dass es immer ein Paar aus 2 Zahlen gibt, deren Summe immer das gleiche Ergebnis liefert und zählt wie viele solche Paare es gibt:
Das hab ich verstanden, nur nicht warum e) so ausgerechnet wird wies ausgerechnet wird
Das ist eine banale quadratische Gleichung, die man mit der pq-Formel löst. Dabei darf man immer die Gleichung äquivalent umformen und z.B. wie hier mit 2 multiplizieren. Dürfte man das nicht, wären ja alle Lösungsmethoden zur Bestimmung von Nullstellen von Parabeln falsch. Anders: Die Multiplikation einer quadratischen Gleichung mit einer x-beliebigen Zahl ändert die Lösungsmenge nicht (weshalb die Umformung auch Äquivalenzumformung heißt).
Ahh danke, habe absolut nicht gecheckt dass man hier die pq-Formel anwenden kann😅 vielen dank
Aber warum kann das so ausgerechnet werden, also diese halben einfach weggemacht, das kann ich irgendwie nicht nachvollziehen