Warum ist das bei Bruchgleichungen so?
Wenn es bei einer Bruchgleichung auf beiden Seiten mehrere Zahlen gibt und bei einem Bruch auf der linken Seite im Nenner zum Beispiel die Zahl x+4 steht, muss man ja mal(x+4) rechnen und das dann mit jeder Zahl in der Gleichung multiplizieren, um halt den Bruch aufzulösen. Aber wenn jetzt im Nenner x•4 stehen würde, dürfte man ja nicht mit jeder Zahl in der Gleichung wie bei der x+4, sondern nur mit einer Zahl auf der anderen Seite multiplizieren.
Wieso ist das so?
Hier eine Beispielaufgabe
(3x+4)/(2x+5) -3= 2x+7. /•(2x+5)
(3x+4)-3•(2x+5)=2x•(2x+5)+7•(2x+5)
und
(3x+4)|(2x•5) -3=2x+7. /•(2x•5)
(3x+4)-3=2x+7•(2x•5)
Warum muss man bei der zweiten Aufgabe nicht jede Zahl, wie bei der ersten Aufgabe mit den Nenner multiplizieren, um den Bruch aufzulösen?
5 Antworten
Für jede mathematische Operation gibt es auch "Umkehr Operation" oder "Umkehrfunktion" sie sind der natürliche Gegenspieler der eigentlichen Operation.
Bei einer Addition ist die Umkehrfunktion das Subtrahieren.
Bei einer Multiplikation ist die Umkehrfunktion das Dividieren.
Außerdem musst du dir vorstellen, dass alle Zahlen die im Nenner und im Zähler über eine entsprechende Operation miteinander verknüpft (z.b. Addition oder Multiplikation) sind, eine Klammer haben. Das heißt bevor dividiert wird, muss das Ergebnis der Zahlen im Nenner und im Zähler berechnet werden. Wenn also x+1 im Zähler steht und y-2 im Nenner steht, dann kannst du das auch schreiben als:
(x+1):(y-2)
Wenn ich jetzt da stehen habe:
3=x:(y-2)
und ich möchte nach x auflösen, dann ist ja (y-2) insgesamt EIN Divisor durch den ich teile.
Wenn ich also um 3 zu erhalten durch y-2 teile, dann muss ich um es auf die andere Seite zu bekommen logischerweise mit y-2 multiplizieren. NATÜRLICH aber darf die klammer nicht vergessen werden, denn es ist ja EIN Faktor.
3*(y-2)=x
was du wenn du die Klammer auflöst auch schreiben kannst als:
3*y-6=x
Ich musste also mit dem Faktor (y-2) multiplizieren, weil die Multiplikation die Umkehrfunktion ist die ich anwenden muss um das x rauszubekommen aber die Multiplikation ist ja nicht die Umkehrfunktion der Addition bzw Subtraktion, weshalb ich nicht einfach nur mit -2 multiplizieren darf.
Ich muss mich also an die jeweiligen Regeln halten.
Sorry. jetzt habe ich deine Frage erst richtig verstanden. Wenn ich das richtig sehe hast du bei der zweiten Aufgabe im Nenner stehen
2x*5
und jetzt multiplizierst du auf beiden seiten mit 2x*5 und:
(2x*5):(2x*5)=1
Das heißt es bleibt der Faktor 1 bleibt übrig und 1 mal irgendwas ist irgendwas, deshalb schreibt man die 1 gar nicht erst hin, weil der Faktor 1 ein neutrales Element der Multiplikation ist. Du kannst also jede Zahl so oft du willst mit 1 multiplizieren ohne die Zahl zu verändern. Mit anderen Worten: 2x*5 kürzt sich auf der Linken Seite der Gleichung weg.
Abgesehen davon, dass man 2x*5 zu 10x zusammenfassen kann, ist Deine zweite Rechnung falsch, Du musst auch im zweiten Fall die 3 mit dem Nenner, also 10x, multiplizieren.
(3x+4)|(2x•5) -3=2x+7. /•(2x•5)
Nicht so:
(3x+4)-3=2x+7•(2x•5)
sondern so:
(3x+4) - 3 •(2x•5) =2x •(2x•5) +7•(2x•5)
oder einfacher:
(3x+4) - 3 •(10x) =2x •(10x) +7•(10x)
Warum muss man bei der zweiten Aufgabe nicht jede Zahl, wie bei der ersten Aufgabe mit den Nenner multiplizieren, um den Bruch aufzulösen?
Muss man ja → deine 2. Aufgabe ist falsch, denn du musst auch links das -3 und rechts das 2x mit (2x·5) multiplizieren!
Erklär noch mal genauer was du meinst.
Bei Bruchgleichungen multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner, egal ob im Nenner + oder • steht
Bei der Bruchgleichung
1/(x+4) = 2x
multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit (x+4), um den Nenner aufzulösen:
1 = 2x(x+4)
Und bei der Bruchgleichung
1/(4x) = 2x
multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit (4x), um den Nenner aufzulösen:
1 = 2x • 4x
Deine 2. Aufgabe ist falsch!
Auch da müssen beide Seiten komplett multipliziert werden mit dem Nenner:
(3x+4)/(2x•5) - 3= 2x+7. │•(2x•5)
(3x+4) - 3•(2x•5) = (2x+7)•(2x•5)
Habe Beispiel angegeben